По материалам Katherine Belarmino и Romeo Belarmino.

Второй курс комплексного анализа

Предисловие

Глава 1: Аналитическое продолжение

1. Экспоненциальная функция и логарифм
2. Последовательности продолжения
3. Продолжение по дуге
4. Ростки
5. Существование продолжений
6. Число витков
7. Принцип аргументации
8. Теорема монодромии
9. Состав микробов
10. Состав продолжений
11. Покрывающие поверхности

Глава 2 Геометрические характеристики

1.Комплексное проективное пространство
2. Линейные преобразования
3. Дробные линейные преобразования
4. Свойства дробно-линейных преобразований
5. Симметрия
6. Лемма Шварца
7. Неевклидова геометрия
8. Принцип отражения Шварца

Глава 3 Отображающие теоремы Римана и Кёбе

1. Аналитическая эквивалентность
2. Локальная равномерная сходимость
3. Теорема Гурвица
4. Последствия поточечной сходимости
5.Последствия сходимости на подмножестве
6. Приблизительно линейные функции — еще одно применение леммы Шварца
7. Теорема униформизации
8. Более пристальный взгляд на покрытие
9. Граничное поведение
10. Лемма Линделёфа
11. Факты из топологии
12. Непрерывность на границе
13. Теорема Фейера

Глава 4 Модульная функция

1. Исключительные значения
2. Модульная конфигурация
3. Радиус Ландау
4.Теорема Шоттки
5. Нормальные семейства
6. Теорема Монтеля
7. Вторая теорема Пикарда
8. Теорема Кебе-Фабера
об искажении 9. Теорема Блоха

Глава 5 Теорема Адамара о произведении

Глава 6 Теорема о простых числах

1. Серия Дирихле
2. Теоретико-числовые функции
3. Формулировка теоремы о простых числах
4. Дзета-функция Римана
5. Аналитическое продолжение ζ (s)
6. Функциональное уравнение Римана
7. Нули ζ (s) в критической полосе
8.ζ (s) для Re (s) = 1
9. Интегральное представление ряда Дирихле
10. Теоретико-интегральные леммы
11. Слабые пределы
12. Тауберова теорема

Библиография

Индекс

Лекция 6: Комплексные числа и комплексные экспоненты | Видео-лекции | Дифференциальные уравнения | Математика

Я предполагаю, что еще в средней школе вы знаете, как складывать и умножать комплексные числа, используя отношение i в квадрате, равное отрицательному. Я немного менее уверен, что вы помните, как их разделить.Я надеюсь, что вы прочитали вчера вечером в качестве подготовки к этому, но поскольку это то, что нам придется сделать много дифференциальных уравнений, поэтому помните, что деление выполняется с использованием комплексного сопряжения. Итак, если z равно плюсу bi, некоторые люди пишут плюс ib, а иногда и я делаю это, если так удобнее. Тогда комплексное сопряжение — это то, что вы получите, изменив i на отрицательное i.

И важно то, что произведение этих двух является действительным числом.Результатом их является квадрат минус величина ib, возведенная в квадрат, что дает возведенное в квадрат плюс b в квадрате, потому что квадрат i является отрицательным.

Итак, произведение тех, что вы умножаете, если хотите умножить это на что-то, чтобы это стало реальностью.

Вы всегда умножаете его на комплексное сопряжение.

И это трюк, который подчеркивает деление. Так что, например, мне лучше повесить на них, иначе я никогда не запомню все примеры. Предположим, например, что мы хотим вычислить (два плюс i) деленное на (один минус 3 i).Вычислить это означает, что я хочу провести деление; Хочу выразить ответ в виде плюс би. Что вы делаете, так это умножаете верхнюю и нижнюю часть на комплексное сопряжение знаменателя, чтобы это стало реальностью. Итак, (один плюс 3i) делится на (один плюс 3i), как вас учили в начальной школе, то есть один, в довольно странной записи; следовательно, умножение не меняет значения дроби.

Итак, знаменатель теперь становится равным 1 в квадрате плюс 3 в квадрате, что равно десяти.

И числитель, научитесь делать это, не перемножая четыре члена.Вы должны уметь делать это в уме. И вы всегда делаете это с помощью метода группировки или почтового отделения, как бы вы это ни называли, а именно: сначала записываете реальную часть, которая состоит из двух умноженных на единицу минус трех умноженных на единицу. Итак, это отрицательный.

А затем мнимая часть, которая равна i умноженной на единицу.

Это единица с коэффициентом один плюс 6i.

Итак, получаем 7i. Некоторые люди считают, что это все еще выглядит неправильно, если хотите, и для некоторых мест и дифференциальных уравнений будет полезно записать это как минус одна десятая плюс семь десятых i.И теперь совершенно ясно, что это в форме плюс-би. Итак, научитесь делать это, если вы еще не знаете. Это будет важно.

Итак, сегодня главное — полярное представительство, до которого иногда не доходит в старших классах.

И если они это сделают, то обычно не в достаточно взрослой форме, чтобы мы могли его использовать.

Так что мне нужно немного об этом побеспокоиться.

Полярное представление, конечно, номинально — это просто переход к полярным координатам.Если здесь плюс bi, то это r, а это тета.

И поэтому в полярной форме это может быть записано как r косинус тета плюс i или r косинус тета.

Это часть A.

И, часть B, мнимая часть равна r sin (theta), умноженному на i.

Сейчас принято ставить i впереди только потому, что это выглядит лучше.

Комплексные числа коммутативны, удовлетворяют коммутативному закону умножения, что означает, что при умножении не имеет значения, помещаете ли вы i впереди или сзади.Это все тот же ответ.

Итак, это будет r косинус тета плюс i, умноженный на r синус тета, что, конечно же, будет вычтено и превратится в косинус тета плюс i синус тета.

Так вот, именно Эйлер сделал решающий шаг и сказал: «Эй, послушайте, я собираюсь назвать это e как i theta».

Итак, почему он это сделал? Потому что все, казалось, указывало на то, что так должно быть. Но это определенно стоит самого лучшего цвета, который у нас есть, а какой?

У нас здесь все заканчивается.Ладно, тем не менее, розового стоит. Я даже отдаю ему должное, Эйлер. Иногда это называют формулой Эйлера, но на самом деле так быть не должно.

Это не формула. Это определение.

Так что в каком-то смысле с этим не поспоришь.

Если вы хотите позвонить, поставив комплексный номер в степень и назовите его так, вы можете.

Но, конечно, можно спросить, зачем он это сделал.

И ответ, я полагаю, состоит в том, что все доказательства, казалось, указывают на то, что это было то, что нужно сделать.Я думаю, что важно немного поговорить, потому что, на мой взгляд, если вы видите это впервые, даже если вы читали об этом вчера вечером, это загадочная вещь, и нужно увидеть это со всех возможных точек зрения. К этому привыкаешь.

Вы никогда не увидите этого во внезапной вспышке озарения.

Он станет для вас таким же знакомым, как и более общие арифметические, алгебраические и вычислительные процессы.

Но посмотрите. Что мы требуем?

Если вы собираетесь называть что-то экспонентой, что мы хотим, чтобы экспонента делала, что дает этому выражению право называться е по отношению к тэте i? Ответ: я не могу закрасться в сознание Эйлера.Должно быть, это был очень важный день в его жизни. У него было много хороших дней, но когда он понял, что это было то, что нужно было записать как определение е для i-теты.

Но чего хотят от экспоненты?

Что ж, ответ в старшей школе наверняка таков: вы хотите, чтобы она удовлетворяла экспоненциальному закону. Теперь, к своему шоку, я понимаю, что многие люди не знают.

В моем классе анализа есть несколько специалистов по математике или дипломированных инженеров по различным предметам, и если я скажу доказать то-то и то-то, используя экспоненциальный закон, я обязательно получу по крайней мере полдюжины писем по электронной почте с вопросом: какой экспоненциальный закон? Хорошо, экспоненциальный закон — это от a до x, умноженного на a, чтобы y было равно a до x плюс y: закон экспонент.

Это самая важная причина, по которой, самая важная вещь в экспонентах, — это то, как их используют. И это экспоненциальная функция, называемая экспоненциальной функцией, потому что все эти важные вещи находятся в показателях.

Хорошо, значит, он должен удовлетворять — мы хотим, чтобы, прежде всего, выполнялся экспоненциальный закон.

Но это еще не все. Это ответ средней школы.

Ответ Массачусетского технологического института был бы, я имею в виду, почему е для x такая популярная функция? Что ж, конечно, это удовлетворяет экспоненциальному закону, но для нас это даже более разумная вещь.Это функция, которая, когда вы ее дифференцируете, вы получаете то же самое, с чего начинали. И это, не считая постоянного множителя, единственная такая функция. Теперь, в терминах дифференциальных уравнений, это означает, что это решение, которое дает е, давайте будем немного щедрыми, превратить е в топор.

Нет, x лучше не использовать, потому что комплексные числа обычно называют x плюс iy. Давайте использовать t как более нейтральную переменную, которая как бы стоит вне борьбы. Он удовлетворяет соотношению, что это решение, если хотите, дифференциального уравнения.Это причудливый способ сказать это. dy / dt равно a, умноженному на y.

Это, конечно, не уникальное. Мы могли бы сделать его уникальным, указав начальное значение. Итак, если я хочу получить эту функцию, а не постоянную, умноженную на нее, я должен сделать это проблемой начального значения и сказать, что нулевое y должно быть равно единице.

А теперь я получу только функцию от e до at. Другими словами, это характеризует эту функцию.

Это единственная функция в мире, обладающая таким свойством.Итак, если вы собираетесь называть что-то е i тета, мы хотим, чтобы это было правдой.

Итак, вот мои вопросы. Верно ли, что е по отношению к i тета-одному, давайте использовать это, умноженное на е к i тэта-два, понимаете, я здесь иду встречным курсом, но это легко исправить. Это равно е и i (тета-один плюс тета-два)?

Если это так, это большой шаг.

Что бы здесь было правдой?

Хорошо, правда ли, что производная по t от e до i theta, я бы хотел, чтобы она была равна i, умноженной на e, на i theta.

Итак, вопрос, вопрос. Я думаю, это две самые важные вещи. Теперь узлы делают третье дело — говорят о бесконечных сериях.

Так как мы не делали бесконечных серий, в любом случае, это официально не часть учебной программы, а требуемые степенные серии. Но я отложу это для полноты, как люди любят говорить.

Значит, он должен вести себя правильно. Бесконечная серия должна быть хороша. Бесконечная серия должна получиться. Нет слова для этого, должно получиться, скажем так.

В смысле, а что за музыка маленькая?

Это какая-то странная музыкальная идея, или это только я слышу?

[СМЕХ] Да, Господь.

Я чувствую, что за мной там следят.

Это ужасно. Итак, есть один парень.

Вот еще один парень. И я не буду ставить рамку вокруг бесконечного сериала, так как я не собираюсь ничего об этом говорить. На самом деле, оба эти утверждения верны. В противном случае, зачем мне их говорить и почему Эйлер создал формулу?

Но что интересно, так это то, что стоит за ними.

И это дает вам немного практики в вычислениях с комплексными числами. Итак, давайте посмотрим на первый. Что он скажет?

Это задает вопрос. В нем говорится, пожалуйста, рассчитайте произведение этих двух вещей.

Хорошо, я делаю это, как мне сказали.

Я вычислю произведение косинуса тета один на косинус тета два — синус. Синус тета один.

Это е по отношению к i тета, верно?

Итак, это соответствует этому. Другой множитель умножает на другой множитель, косинус тета два плюс 1 синус тета два.

Хорошо, что из этого вышло?

Ну, опять воспользуемся методом группировки. Что в этом на самом деле?

Его действительная часть — это косинус тета один косинус тета два.

И еще есть реальная часть, которая исходит из этих двух факторов.

Это произойдет со знаком минус из-за квадрата i. И то, что осталось, — это синус тета один, синус тета два.

А затем, мнимую часть, я вынесу за скобки i.

И то, что осталось, мне не придется повторять i.Таким образом, это должно быть синус тета один, косинус тета два.

И другим множителем будет косинус тета, один, синус, тета, два — плюс синус, тета, два, косинус, тета, один.

Ну, похоже, бардак, но, опять же, на помощь пришла школа.

Что это? Главное — ничего замаскированного, но это замаскированная форма косинуса (тета один плюс тета два).

И нижняя часть — это синус (тета один плюс тета два).

Итак, произведение этих двух вещей есть вот это, и это в точности формула.

Другими словами, эта формула представляет собой способ записать эти два тригонометрических тождества для косинуса суммы и синуса суммы. Вместо того, чтобы две идентичности, занимающие столько места, написанные одна за другой, они занимают столько же места и говорят одно и то же. Эти два тригонометрических тождества в точности равносильны утверждению, что е к тэте i удовлетворяет экспоненциальному закону.

Теперь люди спрашивают, знаете, что прекрасного в математике? Для меня это прекрасно.

Думаю, это здорово. Что-то длинное превращается во что-то короткое, и это так же хорошо, и более того, связано со всеми этими вещами в мире, дифференциальными уравнениями, бесконечными рядами, бла, бла, бла, бла, бла. Хорошо, мне не нужно продавать Эйлера. Он продает себя.

А как насчет другого? Как насчет другого?

Так вот, очевидно, я чего-то не сказал, потому что, во-первых, как вы различите, есть ли тэта здесь, и t там внизу.

Хорошо, это легко исправить. Но как мне это различить? Что за парень относится к i theta? Ну, если я это напишу, посмотрите, что это такое. Это косинус тета плюс я синус тета.

Поскольку тета меняется, это функция.

Переменная действительна. Тета — реальная переменная.

Угол в радианах, но от минус бесконечности до бесконечности. Итак, если вы думаете о функциях как о черном ящике, то в них содержится реальное число. Но получается сложное число.Итак, схематично, вот буква е и тэта-поле, если вам нравится так думать, тэта входит, и это реально, и комплексное число, это конкретное комплексное число гаснет.

Итак, во-первых, мы бы это назвали, я не собираюсь это записывать, потому что это вроде напыщенно и занимает слишком много времени.

Но это комплексная функция действительной переменной.

Вы поняли? До сих пор мы изучали действительные функции действительных переменных. Но теперь, когда речь идет о вещественных функциях вещественных переменных, исчислении занимается именно этим.Но теперь это комплексная функция, потому что переменная реальна.

Но на выходе значение функции — комплексное число. Теперь, в общем, такая функция, ну может лучше сказать комплексная, а как насчет комплексной функции реальной переменной, давайте изменим имя переменной. t всегда действительная переменная.

Я не думаю, что у нас еще сложное время, хотя я уверен, что когда-нибудь они появятся. Но появляется следующий Эйнштейн.

Комплекснозначная функция действительной переменной t, в общем, будет выглядеть так.

т, а что выходит? Ну, комплексное число, которое мне пришлось бы записать таким образом.

Другими словами, действительная часть зависит от t, а мнимая часть зависит от t.

Итак, общая функция выглядит так, общая комплексная функция. Это просто частный случай, когда переменная имеет другое имя.

Но первой функцией будет косинус t, а второй функцией будет синус t. Итак, мой единственный вопрос: как отличить такую ​​вещь?

Ну, я не собираюсь с этим суетиться.

Общее определение — с дельтами и еще много чего, но конечный результат идеально точного определения состоит в том, что вы дифференцируете его, дифференцируя каждый компонент.

Причина, по которой вам не нужно так много работать, заключается в том, что это реальная переменная, и я уже знаю, что значит различать функцию реальной переменной.

Итак, я мог бы написать это так, что производная от u плюс iv, я буду сокращать ее таким образом, это означает производную по любой переменной, так как я не сказал вам, какая переменная в этих функции были … ну, мне не нужно говорить вам, в отношении чего я различаю.Это то, что там было, потому что вы не видите. И ответ таков: это будет производная u плюс i, умноженная на производную v. Вы дифференцируете ее так же, как если бы это были компоненты вектора движения.

Скорость можно получить, дифференцируя каждый компонент отдельно. И это то, что вы здесь делаете. Хорошо, теперь важно то, что это, по крайней мере, говорит мне, что я должен проверить, когда проверяю эту формулу. Итак, давайте сделаем это сейчас, когда мы знаем, что это такое.Мы знаем, как различать функции. Давайте на самом деле дифференцируем это. К счастью, это самая простая часть всего процесса.

Итак, приступим. Итак, какова производная?

Вернемся к t, нашей универсальной переменной.

Я хочу подчеркнуть, что эти функции, когда мы пишем их как функции, тета почти никогда не будет переменной вне этих примечаний к комплексным числам.

Обычно это время или что-то в этом роде, или x, нейтральная переменная, такая как x.

Итак, какова производная е от теты i?

Я надеюсь, что он окажется i e для i theta, и что желтый закон может быть верным, как и зеленый. Хорошо, давайте посчитаем.

Это производная по отношению к, к сожалению, я могу преобразовать t в тэты, но не тэты в t. C’est la vie, хорошо. Временной косинус t плюс i синус t, и что это?

Ну, производная косинуса t, дифференцируя действительную и мнимую части отдельно и складывая их.

Это отрицательный синус t, плюс i, умноженный на косинус t.

Теперь давайте вычленим i, потому что там сказано, что если я вычленяю i, что я получу?

Ну, теперь действительная часть того, что осталось, будет косинусом t.

А как насчет мнимой части?

Понимаете, это будет синус, потому что я раз даю отрицательный.

И что это? е к этому.

i раз e на i t.

Итак, это тоже работает. А как насчет начального состояния? Без проблем.

Какое значение y равно нулю? Какая функция у нуля?

Ну, не говорите сразу, i, умноженное на ноль, равно нулю, значит, он должен быть равен единице. Это незаконно, потому что почему это незаконно? Это потому, что в этой формуле вы не умножаете i на тэту.

Я имею в виду, вроде как да, но эта формула означает значение е для тэты i.

Так вот, было бы очень хорошо, если бы это было так, ну, в любом случае, вы не можете этого сделать.

Итак, вы должны сказать, что это косинус нуля плюс i, умноженный на синус нуля.

И сколько это стоит? Синус нуля равен нулю.

Теперь можно сказать, что i, умноженное на ноль, равно нулю, потому что так умножаются комплексные числа. Что такое косинус нуля?

Это один. Так что ответ, действительно, оказывается один. Итак, это проверяет, действительно, со всех мыслимых точек зрения, как я указал, а также с точки зрения бесконечных серий.

Итак, нам определенно разрешено это использовать.

Теперь верен более общий экспоненциальный закон.

Я не буду много говорить об этом.

Другими словами, от e до a, это действительно определение. e к (a плюс ib) будет, чтобы общий экспоненциальный закон был истинным, это действительно определение.

Это е к а раз е к ib.

Теперь обратите внимание, когда я смотрю на — на любое комплексное число, — так, с точки зрения этого, полярную форму комплексного числа, чтобы снова нарисовать маленькую картинку, если это наше комплексное число, а здесь r, а здесь угол тета, так что хороший способ записать это комплексное число — это re в тета i.Теперь е к тэте, почему это так?

Каковы масштабы этого? Это р.

Длина абсолютного значения, я не говорил о величине в аргументе. Думаю, мне следовало.

Но это в примечаниях. Итак, r называется модулем.

Ну, модное слово — модуль.

И мы не дали имени комплексному числу.

Назовем это альфа, модуль альфа, а называется тета, это угол.

Это называется аргументом.Я не придумывал этих слов.

Вот, из традиции английского языка, которая давно исчезла, когда я был ребенком, и вы хотели знать, о чем была пьеса, вы посмотрели в афише, и там было сказано, что аргумент пьесы, это та старая модное использование слова аргумент. Аргумент означает угол, иногда его сокращают до arg alpha.

И, конечно, это сокращается как абсолютное значение альфы, ее длина.

Хорошо, заметки дают вам немного попрактиковаться в преобразовании вещей в полярную форму.Думаю, мы пропустим это и займемся еще парочкой вещей, потому что это довольно просто. Но позвольте мне, вы должны хотя бы понять, когда вам следует смотреть на полярную форму.

Большое преимущество полярной формы в том, что, особенно после того, как вы освоили экспоненциальный закон, большое преимущество полярной формы в том, что она хороша для умножения.

Теперь, конечно, вы знаете, как умножать комплексные числа, даже если они находятся в декартовой форме. Это первое, что вы узнаете в старшей школе, как умножить плюс bi на c плюс di.Но, как вы увидите, когда дело доходит до дела, вы очень ясно увидите это в пятницу, когда мы будем говорить о тригонометрических входных данных для дифференциальных уравнений, — — что переход к комплексным числам позволяет легко вычислить все виды вещей, и ответы получаются предельно ясными, тогда как если бы нам пришлось делать это каким-либо другим способом, это было бы намного больше. И что хуже всего, когда вы наконец дойдете до конца, вы боитесь, что не стали мудрее. Это хорошо для умножения, потому что произведение, так что здесь любое число в его полярной форме.Это общее комплексное число. Это модуль, умноженный на е, умноженный на i тета, умноженный на r два, e на i тета два … Ну, вы просто умножаете их как обычные числа. Таким образом, передняя часть будет равна r1 r2, а e для i-тета-частей умножается по экспоненциальному закону и становится e для i (тета-один плюс тета-два) — что очень ясно дает понять, что умножение геометрически два комплексных числа, вы умножаете модули, r, абсолютные значения, длину стрелки от нуля до комплексного числа, умножаете модули и складываете аргументы.Итак, новое число, его модуль — произведение r1 и r2.

И его аргумент, его угол, полярный угол, является суммой двух старых углов.

И вы складываете углы. И, вы записываете в своих книгах ракурсы, но меня фотографируют, поэтому я собираюсь писать аргументы.

Другими словами, он проясняет геометрическое содержание умножения в том смысле, в котором это крайне неясно. Из этого закона, бла, бла, бла, бла, бла, чем бы он ни оказался, у вас нет ни малейшей интуиции, что это верно в отношении комплексных чисел.Это в первую очередь просто формула, тогда как это проницательное представление комплексного умножения. Теперь я хотел бы использовать его для чего-то, но прежде чем мы это сделаем, позвольте мне просто указать, как только экспоненциальная запись позволяет вам делать вещи в исчислении, формулы, которые невозможно запомнить из математического анализа. Благодаря этому их очень легко получить. Типичный пример этого: предположим, что вы хотите, например, интегрировать (e с отрицательным x) косинус x.

Ну, во-первых, вы проводите несколько минут, просматривая учебник по математическому анализу и пытаясь найти ответ, потому что вы знаете, что не запомните, как это делать.

Или вы запускаете компьютер и набираете Matlab и что-то в этом роде. Или вы достаете свой карманный калькулятор, который даст вам формулу, и так далее. Итак, у вас есть помощники для этого. Но как это сделать, если вы находитесь на необитаемом острове, и как я всегда это делаю, потому что у меня никогда не было этих маленьких помощников, и я не могу доверять своей памяти, вероятно, некоторые из вас помнят, как вы делал это в старшей школе, или как вы это делали в 18.01, если вы взяли это здесь. Вы должны использовать интеграцию по частям.Но это одна из сложных вещей, которая не требуется на экзамене, потому что вам нужно было дважды использовать интеграцию по частям в одном и том же направлении, а затем внезапно сравнивать конечный продукт с исходным и писать уравнение. Как-то вываливается значение.

Ну, это сложно. И это не из тех вещей, которые вы можете тратить зря, забивая себе голову, если только вы не собираетесь стать интеграционной пчелой во время IAP или что-то в этом роде.

Вместо этого можно использовать комплексные числа.

Как я думаю об этом, косинус x?

Что я делаю, я думаю, что е по отношению к отрицательному x косинус x является действительной частью, действительной частью чего?

Итак, косинус x — это действительная часть числа e от ix.

Итак, эта штука, это реально.

Это тоже реально.

Но я думаю об этом как о реальной части е до ix.

Теперь, если я умножу эти два вместе, то окажется, что это будет действительная часть е с минусом x.

Очень помпезно выпишу, а потом исправлю. Я бы никогда этого не написал, ты это ты. Хорошо, это e в минус x раз, когда я пишу косинус x плюс i синус x, так что это действительная часть, которая является косинусом x.

Итак, это реальная часть, запишите это так для действительной части е в, вычтите x, и что там вверх (отрицательная единица плюс i) умножьте на x.

Хорошо, а теперь идея такая же, как и для интеграла.

Это будет действительная часть этого, интеграл от e (минус один плюс i), умноженный на x dx.

Другими словами, то, что вы делаете, называется усложнением интеграла. Вместо того, чтобы смотреть на исходную реальную проблему, я собираюсь превратить ее в сложную проблему, превратив ее в сложную экспоненту. Это действительная часть сложной экспоненты. Итак, в чем преимущество этого? Простой.

Это потому, что нет ничего проще, чем интегрировать экспоненту. И хотя у вас могут быть некоторые сомнения относительно того, работают ли известные законы также со сложными экспонентами, я уверяю вас, что все они работают.

Было бы здорово посидеть и испытать их.

С другой стороны, я думаю, через некоторое время это покажется вам довольно скучным. Итак, я собираюсь заняться забавными вещами и предположить, что они правдивы, потому что они правы.

Итак, каков интеграл от e до (минус один плюс i) x dx?

Что ж, если на небесах есть справедливость, она должна быть равна е, умноженной на (минус один плюс i), умноженное на x, на минус один плюс i.

В некотором смысле это ответ. Фактически, это дает это.Это правильно.

Я хочу настоящую часть этого. Мне нужна настоящая часть, потому что так была сформулирована исходная проблема.

Мне нужна только настоящая деталь. Итак, я хочу реальную часть этого. Вот что отличает девушек от женщин. [СМЕХ] Вот почему вы должны знать, как делить комплексные числа.

Итак, смотрите, как я нахожу настоящую деталь.

Я так пишу. Обычно, когда я делаю расчеты для себя, я пропускаю пару этих шагов.Но на этот раз я все выпишу. Кстати, вам придется много делать это в этом курсе, как в течение следующих нескольких недель, так и особенно к концу семестра, когда мы попадаем в сложные системы, которые включают комплексные числа. Этого много.

Итак, пришло время научиться этому и почувствовать себя в этом искусным. Итак, это умножение на e на отрицательное x, умноженное на e, на ix, то есть косинус x плюс i синус x.

Я еще не готов произвести расчет, чтобы найти настоящую деталь, потому что мне не нравится, как это выглядит.

Я хочу вернуться к тому, что я сделал в самом начале часа, и превратить это в комплексное число типа плюс би.

Другими словами, нам нужно разделить. Итак, теперь будет разделение, я попрошу вас сделать это в своей голове.

Я умножаю верхнюю и нижнюю на отрицательную минус I.

Что это означает в знаменателе?

Один квадрат плюс один квадрат: два.

А в числителе минус i.

Это то же самое.

Но теперь он смотрит на форму a + bi.

Отрицательное число больше двух минус i, умноженное на половину.

Итак, это умножается на е на минус x и косинус x.

Итак, если вы делаете это и немного попрактикуетесь, пожалуйста, не выполняйте все эти шаги.

Идите отсюда; ну, я бы пошел отсюда сюда сам. Может быть, не стоит.

Попрактикуйтесь, прежде чем делать это.

А теперь что нам с этим делать?

Теперь это форма, чтобы выбрать настоящую деталь.

Нам нужна реальная часть этого. Таким образом, вам не нужно записывать все как комплексное число.

Другими словами, вам не нужно делать все умножения. Вам нужно только найти его настоящую часть, а что? Что ж, e к отрицательному x будет просто множителем.

Это реальный фактор, о котором мне не о чем беспокоиться. И в эту категорию я также могу включить их двоих. Итак, мне нужно выбрать только настоящую часть этого времени. И что это?

Это отрицательный косинус x.

И другая реальная часть является результатом этих двух вещей. Я умножаю на отрицательное, я равен единице.

Остается синус x.

Итак, это ответ на вопрос. Это интеграл от e к отрицательному x * косинусу x.

Обратите внимание, это совершенно простой процесс.

Никаких уловок здесь нет, если только вы не называете уловкой переход к сложной области. Но я не знаю.

Как только вы увидите в этом курсе комбинацию e и ax, умноженную на косинус bx или синус bx, вы должны сразу подумать, и вы получите много этого через пару недель после экзамена, вы собираетесь чтобы получить его в большом количестве, и вам следует немедленно подумать о переходе к сложной области.Это будет стандартный способ решения подобных проблем. Итак, вы получите много практики, делая это. Но это было впервые.

Теперь, я полагаю, что в оставшееся время я вообще не буду говорить в примечаниях, i, R, но я хотел бы немного поговорить об извлечении сложных корней, поскольку у вас есть проблема в этом, и потому что это еще одно прекрасное применение полярного способа записи комплексных чисел.

Предположим, я хочу посчитать. Итак, основная проблема — вычислить корни n-й степени из единицы.Теперь, в реальной области, конечно, ответ таков: иногда есть только один из них, сам по себе, а иногда их два, в зависимости от того, является ли n четным или нечетным числом.

Но в комплексной области всегда есть n ответов в виде комплексных чисел. Всегда есть n-й корень.

А где они? Что ж, геометрически легко увидеть, где они находятся.

Вот единичный круг. Вот единичный круг.

Один из корней здесь, в одном.

А где остальные? Что ж, вы видите, что если я поставлю, давайте примем n равным пяти, потому что это красивое, драматическое число. Если я размещу эти пептиды на равном расстоянии друг от друга по единичному кругу, то есть, другими словами, это угол альфа.

Альфа должна быть углом. Как бы это можно было выразить? Если бы их было пять на равном расстоянии друг от друга, это было бы одной пятой всего круга.

На всем протяжении круга два числа пи.

Итак, это будет одна пятая часть двух пи в радианах.

Итак, геометрически ясно, что это пять корней пятой степени, потому что как мне умножать комплексные числа? Умножаю модули.

Ну, у всех модуль один. Итак, если я возьму этого парня, давайте назовем это комплексное число, о, я не хочу вам называть, они всегда дают вам греческую нотацию.

Хорошо, а почему бы вам не помучить? Зета.

По крайней мере, вы научитесь создавать дзеты в этот период, малые дзеты, так что это дзеты. Это наш пятый корень единства.Это первое, что встречается на круге, а не тривиальный.

Теперь вы понимаете, как мне вычислить дзету до пятого? Что ж, если я запишу дзеты в полярной системе счисления, что бы это было? Модуль будет равен единице, и, следовательно, это будет просто, r будет для него единицей, потому что его длина равна единице.

Его модуль упругости равен единице. Что здесь?

Я умножаю на этот угол, и этот угол равен двум пи больше пяти. Итак, я просто геометрически вижу, где находится дзета.

И, если я переведу эту геометрию в форму е в форму i тета для формулы, я увижу, что это должно быть именно это число.Теперь предположим, что кто-то дает вам это число и говорит: «Эй, это корень пятой степени из единицы?» Запрещаю рисовать какие-либо картинки. Что бы вы сделали?

Вы говорите, ну я возведу в пятую степень. Что такое дзеты в пятой степени?

Ну, это е для i два пи / пять, и теперь, если я думаю о том, чтобы возвести это в пятую степень по экспоненциальному закону, это то же самое, что поставить пятерку перед экспонентой.

Итак, на этот раз пять, и что это?

Это е, умноженное на i, умноженное на два пи.

И что это? Ну, это угол.

Если угол равен двум пи, я прошел весь круг и вернулся сюда снова.

У меня есть номер один. Итак, это один.

Так как аргумент два пи — это то же самое, что и угол, это то же самое, что и, ну, давайте не будем так писать. Это не правильно.

Это просто неправильно, поскольку два числа пи и ноль — это один и тот же угол.

Итак, я могу заменить это на ноль.

О боже. Что ж, я думаю, мне нужно остановиться прямо посреди дела.Итак, вам придется немного прочитать о том, как найти корни, чтобы решить эту проблему. И мы продолжим с этого момента в пятницу.

Курсы — математика и статистика — Carleton College

Наша статистика Курсы были перенумерованы и обозначены как STAT. Вероятность имеет новый номер курса математики. См. Диаграмму, показывающую старые и новые числа.

Владельцы визы F1 , которые участвуют в стажировке за пределами кампуса, должны пройти курс, связанный с этой стажировкой, чтобы удовлетворить требованиям учебного кредита.Специалисты по математике или статистике должны следовать инструкциям, изложенным на странице ресурсов для студентов CPT перед до начала стажировки за пределами кампуса.

Для получения информации о размещении в расчетах или статистике, пожалуйста, посетите страницу размещения математических / статистических данных.

Математика | Статистика

Математика

• MATH 101: Исчисление с решением задач

  Введение в основные идеи математического анализа с повторением и практикой тех навыков, которые необходимы для непрерывного изучения математического анализа.Будут подчеркнуты стратегии решения проблем. Ожидается, что в дополнение к обычным занятиям MWF студенты будут посещать два занятия по решению проблем каждую неделю: одно в понедельник или вторник и одно в среду или четверг. Подробности будут предоставлены в первый день занятий.

  Пререквизиты: Не доступен для студентов, получивших зачетные баллы по математике 111. 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г. · Деанна Хаунспергер

• MATH 111: Введение в исчисление

  Введение в дифференциальное и интегральное исчисление.Производные, первообразные, определенный интеграл, приложения и основная теорема исчисления. Предварительные требования: Требуется размещение через экзамен 1 по математике, см. Веб-страницу по математике. Не доступен для студентов, получивших зачет по математике 101. 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г. · Кайла Райт , Кейт Мейер , Оуэн Бизель

• MATH 120: Исчисление 2

  Обратные функции, интегрирование по частям, несобственные интегралы, моделирование с помощью дифференциальных уравнений, векторов, исчисление функций двух независимых переменных, включая производные по направлениям и двойные интегралы, множители Лагранжа.

  Предварительные требования: математика 101, 111, оценка 4 или 5 на экзамене Calculus AB или размещение через экзамен Carleton. Не доступно для студентов, которые получили зачетные баллы по математике 211 или набрали 4 или 5 баллов на экзамене AP Calculus BC. 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Клаудио Гомес-Гонсалес , Рэйф Джонс , Роб Томпсон , Мерфи Кейт Монти , Стив Шайрер

• MATH 206: Экскурсия по математике

  Цикл из восьми лекций, предназначенных для студентов, изучающих математику.Акцент будет сделан на представлении различных ярких идей, концепций и результатов в современной математике, а не на развитии обширных знаний или методов в какой-либо конкретной предметной области. 1 кредит; S / CR / NC; Не соответствует требованиям учебной программы; предложил Зима 2022 года · Марк Круземайер

• МАТЕМАТИКА 210: Исчисление 3

  Векторы, кривые, исчисление функций трех независимых переменных, включая производные по направлениям и тройные интегралы, цилиндрические и сферические координаты, линейные интегралы, теорему Грина, последовательности и ряды, степенные ряды, ряды Тейлора.

  Пререквизиты: математика 120. Этот курс не может быть заменен на математику 211 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Стив Шайрер , Алекс Барриос

• MATH 211: Введение в многомерное исчисление

  Векторы, кривые, частные производные, градиент, многократные и повторные интегралы, линейные интегралы, теорема Грина.Предварительные требования: оценка 4 или 5 на экзамене AP Calculus BC или зачисление на экзамен № 3 по математическому анализу. 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г. · Джош Дэвис , Кейт Мейер , Роб Томпсон

• MATH 236: Математические структуры

  Основные концепции и методы, используемые в математике.Темы включают логику, математическую индукцию и другие методы доказательства, решение задач, множества, мощность, отношения эквивалентности, функции и отношения, а также аксиому выбора. Другие темы могут включать: алгебраические структуры, теорию графов и базовую комбинаторику. Пререквизиты: математика 232 и математика 210 или математика 211 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Алекс Барриос , Мерфи Кейт Монти , Клаудио Гомес-Гонсалес , Дина Хаунспергер

• MATH 240: Вероятность

  (Ранее Математика 265) Введение в вероятность и ее приложения.Темы включают дискретную вероятность, случайные величины, независимость, совместные и условные распределения, математическое ожидание, предельные законы и свойства общих распределений вероятностей.

  Пререквизиты: математика 120 или математика 211 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г. · Оуэн Бизель , Лаура Чихара

• MATH 241: обыкновенные дифференциальные уравнения

  Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения, включая методы нахождения решений, условия существования решений и некоторый качественный анализ.Требования: математика 232 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Кейт Мейер , Роб Томпсон

• MATH 244: геометрия

  Евклидова геометрия с продвинутой точки зрения; проективная, гиперболическая, инверсивная и / или другие геометрии.Рекомендуется для будущих учителей средних школ. Пререквизиты: математика 236 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Весна 2022 года · Мерфи Кейт Монти

• MATH 251: Хаотическая динамика

  Исследование поведения нелинейных динамических систем.Темы включают одномерную и двумерную динамику, теорему Сарковского, хаос, символическую динамику и карту Энона.

  Пререквизиты: математика 232 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; не предлагается 2021–2022 гг.

• MATH 261: Функции комплексной переменной

  Алгебра и геометрия комплексных чисел, аналитические функции, комплексное интегрирование, ряды, вычеты, приложения.Не доступно для студентов, которые уже получили зачетные единицы по математике 361. Пререквизиты: математика 210 или математика 211 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; не предлагается 2021–2022 гг.

• MATH 271: Вычислительная математика

  Введение в математические идеи из численного приближения, научных вычислений и / или анализа данных.Темы будут выбраны из числовой линейной алгебры, численного анализа и оптимизации. Особое внимание будет уделено теории, реализации и применению вычислительных методов.

  Пререквизиты: математика 232 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 · Роб Томпсон

• MATH 295: Математика и демократия

  В демократическом обществе мы сталкиваемся с проблемами обеспечения справедливости.Как мы можем построить представительное правительство, измерить предпочтения общества или справедливо разделить власть? Многие из этих проблем поддаются математическому анализу, и во многих случаях существуют глубокие теории и богатые исторические повествования о попытках решения. Мы изучим три такие проблемы, представляющие текущий политический и математический интерес: распределение представительства, голосование и джерримандеринг. Мы подойдем к этим проблемам, рассмотрев, какие абстрактные свойства должно иметь «справедливое» решение, а затем попытаемся построить и проанализировать процедуры, которые максимизируют наши меры справедливости.

  Пререквизиты: математика 232 или математика 236 6 кредитов; Не соответствует требованиям учебной программы; предложил Осень 2021 · Деанна Хаунспергер

• MATH 295: Математика климата

  Введение в математические методы изучения климата планеты.Основное внимание будет уделяться малоразмерным моделям, простота которых позволяет понять фундаментальные механизмы изменения климата. Мы будем использовать инструменты из алгебры, геометрии и исчисления для изучения таких тем, как энергетический баланс, воздействие парниковых газов и обратная связь по альбедо льда. Этот курс будет засчитан в области прикладной математики основной математики.

  Пререквизиты: математика 120 или 211 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Весна 2022 года · Кейт Мейер

• MATH 297: Оценка и сообщение внешней математической деятельности

  Независимый учебный курс, предназначенный для студентов, которые завершили внешнюю деятельность, связанную с математикой (например, стажировку или экстернатуру), чтобы общаться (как в письменной, так и в устной форме) и оценивать свои математические знания в результате этой деятельности.Предпосылки: Разрешение заведующего кафедрой и выполнение домашних заданий перед внешне математической деятельностью. 1 кредит; S / CR / NC; Не соответствует требованиям учебной программы; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Кэти Стрит.Клер , Эрик Эгге

• MATH 312: Элементарная теория чисел

  Свойства целых чисел. Темы включают евклидов алгоритм, классические нерешенные проблемы теории чисел, разложение на простые множители, диофантовы уравнения, сравнения, делимость, функцию Эйлера фи и другие мультипликативные функции, первообразные корни и квадратичную взаимность.Другие темы могут включать целые числа как суммы квадратов, непрерывные дроби, распределение простых чисел, целые числа в полях расширения, p-адические числа.

  Пререквизиты: математика 236 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; не предлагается 2021–2022 гг.

• MATH 321: Реальный анализ I

  Систематическое изучение основных понятий исчисления, таких как топология действительных чисел, пределы, дифференцирование, интегрирование, сходимость последовательностей и рядов функций.Требования: математика 236 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 г., Весна 2022 г. · Рэйф Джонс , Алекс Барриос

• MATH 331: Реальный анализ II

  Дополнительные темы анализа, такие как теория меры, интегрирование Лебега или банаховы и гильбертовые пространства.Требования: Математика 321 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Зима 2022 года · Рэйф Джонс

• MATH 332: Продвинутая линейная алгебра

  Избранные темы помимо материала по математике 232.Темы могут включать теорему Кэли-Гамильтона, спектральную теорему, факторизации, канонические формы, детерминантные функции, оценку собственных значений, пространства внутренних произведений, двойственные векторные пространства, унитарные и эрмитовы матрицы, операторы, бесконечномерные пространства и различные приложения. Требования: математика 236 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Осень 2021 · Марк Круземайер

• MATH 333: Комбинаторная теория

  Изучение структур, содержащих конечные множества.Методы подсчета, включая производящие функции, рекуррентные отношения и принцип включения-исключения; критерии существования, включая теорему Рамсея и принцип ячеек. Некоторые комбинаторные тождества и биективные доказательства. Другие темы могут включать теорию графов и / или сетей, теорему Холла («брак»), разбиения и гипергеометрические ряды. Требования: математика 236 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; не предлагается 2021–2022 гг.

• MATH 341: уравнения в частных производных

  Введение в уравнения в частных производных с акцентом на уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа.Темы включают метод характеристик, разделение переменных, ряды Фурье, преобразования Фурье и существование / единственность решений.

  Пререквизиты: математика 241 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Весна 2022 года · Роб Томпсон

• MATH 342: Абстрактная алгебра I

  Введение в алгебраические структуры, включая группы, кольца и поля.Гомоморфизмы и фактор-структуры, многочлены, однозначная факторизация. Другие темы могут включать такие приложения, как теорема Бернсайда о счетах, группы симметрии, полиномиальные уравнения или геометрические конструкции. Требования: математика 236 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Зима 2022 года · Клаудио Гомес-Гонсалес

• MATH 344: Дифференциальная геометрия

  Локальная и глобальная теория кривых, формулы Френе.Локальная теория поверхностей, нормальная кривизна, геодезические, гауссова и средняя кривизны, теорема Egregium. Пререквизиты: математика 236 или разрешение преподавателя. 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; не предлагается 2021–2022 гг.

• MATH 349: Методы обучения математике

  Методика обучения математике в 7-12 классах.Проблемы современного математического образования. Требуются регулярные посещения школьных классов и преподавание в классе. Предпосылки: младший или старший статус и разрешение инструктора 6 кредитов; Не соответствует требованиям учебной программы; предложил Зима 2022 года · Деанна Хаунспергер

• MATH 352: Темы абстрактной алгебры

  Интенсивное изучение одного или нескольких типов алгебраических систем, изучаемых в математике 342.Пререквизиты: математика 342 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Весна 2022 года · Марк Круземайер

• MATH 354: Топология

  Введение в изучение топологических пространств.Мы развиваем концепции точечной и алгебраической топологии, чтобы различать разные топологические пространства с точностью до гомеоморфизма. Темы включают методы построения топологических пространств; непрерывность, связность, компактность, условие Хаусдорфа; фундаментальная группа, гомотопия отображений.

  Пререквизиты: математика 236 или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Зима 2022 года · Стив Шайрер

• MATH 361: Комплексный анализ

  Теоретические основы исчисления функций комплексного переменного.

  Пререквизиты: Математика 321 или разрешение преподавателя. Студенты, которые уже получили зачет по математике 261, могут пройти этот курс только с разрешения преподавателя. 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Весна 2022 года · Оуэн Бизель

• MATH 395: Семинар по алгебраической геометрии

  Изучение вопросов алгебраической геометрии и смежной коммутативной алгебры.Каждый участник представит как минимум одну содержательную презентацию у доски. Темы определенно будут включать теорему о базисе Гильберта и Nullstellensatz, но помимо этого возможны существенные вариации, в зависимости от интересов и математического фона участников.

  Предварительные требования: математика 342 или согласие преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое обоснование; предложил Зима 2022 года · Марк Круземайер

• MATH 400: интегративное упражнение

  Либо исследовательский проект в малых группах, либо индивидуальное, независимое чтение.Требуется для всех старших специальностей.

  Пререквизиты: математика 236 и успешное завершение трех курсов из числа: курсы математики с номерами выше 236, информатика 252, информатика 254, информатика 352, статистика 250, статистика 320, статистика 340 3 кредита; S / NC; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Энди Поппик , Оуэн Бизель , Дина Хаунспергер , Кейт Мейер , Мёрфи Кейт Монти , Стив Шайрер , Марк Круземайер , Гаслесон 9055, Алекс Гослес 9055

Math | Статистика

Статистика

• STAT 120: Введение в статистику

  (Ранее MATH 215) Введение в статистику и анализ данных.Особое внимание будет уделено практическим аспектам статистики, включая широкое использование статистического программного обеспечения, интерпретацию и передачу результатов. Темы включают: исследовательский анализ данных, корреляцию и линейную регрессию, план экспериментов, базовую вероятность, нормальное распределение, рандомизационный подход к выводу, выборочные распределения, оценку, проверку гипотез и двусторонние таблицы. Учащимся, изучающим математику 211, предлагается рассмотреть более сложную последовательность «Математика 240 / Статистика 250 (ранее — Математика 265 и 275)». Вероятность / статистический вывод.

  Пререквизиты: Не доступен для студентов, которые уже получили зачетные единицы по психологии 200/201, социологии / антропологии 239 или статистике 250 (ранее математика 275). 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Энди Поппик , Дипак Бастола , Адам Лой , Лаура Чихара , Кэти Стрит.Клер , Стив Шайрер

• STAT 220: Введение в науку о данных

  (Ранее математика 285) Этот курс будет охватывать вычислительную сторону анализа данных, включая инструменты сбора данных, управления и визуализации. Темы могут включать: извлечение данных, обработку данных, визуализацию данных с использованием таких пакетов, как ggplots, интерактивную графику с использованием таких инструментов, как Shiny, контролируемые и неконтролируемые методы классификации, а также понимание и визуализацию пространственных данных.В этом курсе мы будем использовать статистическую программу R.

  Предварительные требования: Статистика 120 (ранее Математика 215), Статистика 230 (ранее Математика 245) или Статистика 250 (ранее Математика 275) 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Adam Loy , Deepak Bastola , Katie St.Clair

• STAT 230: Прикладной регрессионный анализ

  (Ранее математика 245) Второй курс статистики, охватывающий простую линейную регрессию, множественную регрессию и ANOVA, а также логистическую регрессию. Особое внимание будет уделено исследовательским графическим методам, построению моделей и методам проверки моделей с широким использованием статистического программного обеспечения для анализа реальных данных.

  Предварительные требования: Статистика 120 (ранее Математика 215) или Статистика 250 (ранее Математика 275), Психология 200 или оценка за экзамен по статистике AP 4 или 5. 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Кэти Ст. Клер , Энди Поппик , Дипак Бастола

• STAT 250: Введение в статистический вывод

  (Ранее Математика 275) Введение в современную математическую статистику.Будет рассмотрена математика, лежащая в основе фундаментальных статистических концепций, а также приложения этих идей к реальным данным. Темы включают: методы повторной выборки (тесты перестановки, интервалы начальной загрузки), классические методы (параметрические тесты гипотез и доверительные интервалы), оценка параметров, тесты согласия, регрессия и байесовские методы. Статистический пакет R будет использоваться для анализа наборов данных.

  Пререквизиты: математика 240 Вероятность (ранее математика 265) 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Адам Лой , Лаура Чихара

• STAT 260: Введение в методы отбора проб

  (ранее MATH 255) Охватывает проблемы дизайна выборки, выходящие за рамки простой простой случайной выборки: стратификация, кластеризация, домены и сложные планы, такие как двухфазные и многоступенчатые планы.Будут рассмотрены методы вывода и оценки для большинства этих планов, а также будет представлена ​​идея выборочных весов для обследования. Мы также можем охватить такие темы, как построение графиков сложных данных опроса и изучение взаимосвязей в сложных данных опроса с помощью регрессии и тестов хи-квадрат.

  Предварительные требования: Статистика 120 (ранее Математика 215) или Статистика 250 (ранее Математика 275) 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Зима 2022 года · Кэти Стрит.Clair

• STAT 285: Статистический консалтинг

  (ранее MATH 280) Студенты будут применять свои статистические знания, анализируя проблемы с данными, запрашиваемые у сообщества Northfield. Студенты также получат базовые навыки консультирования, включая общение и этику.

  Требования: Статистика 230 (ранее Математика 245) и разрешение преподавателя. 2 кредита; S / CR / NC; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Энди Поппик

• СТАТ 297: Оценка и сообщение о внешней статистической деятельности

  Независимый учебный курс, предназначенный для студентов, которые завершили внешнюю деятельность, связанную со специальностью статистики (например, стажировку или экстернатуру), для общения (как в письменной, так и в устной форме) и оценки своих статистических знаний в результате этой деятельности.

  Предпосылки: Разрешение заведующего кафедрой и выполнение домашних заданий перед внешней статистической деятельностью. 1 кредит; S / CR / NC; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г. · Кэти Ст. Клер

• STAT 320: Анализ временных рядов

  (Ранее MATH 315) Модели и методы для характеристики зависимости в данных, упорядоченных во времени.Акцент на одномерных количественных данных, наблюдаемых в равномерно распределенных интервалах. Темы включают перспективы как из временной области (например, модели авторегрессии и скользящего среднего и их расширения), так и из частотной области (например, сглаживание периодограммы и параметрические модели для спектральной плотности).

  Предварительные требования: Статистика 230 и 250 (ранее математика 245 и 275). Знакомство с матричной алгеброй может быть полезно, но не обязательно 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Весна 2022 года · Энди Поппик

• STAT 330: Расширенное статистическое моделирование

  (ранее MATH 315) Темы включают линейные модели смешанных эффектов для повторяющихся измерений, продольные или иерархические данные и обобщенные линейные модели (из которых логистическая регрессия и регрессия Пуассона являются частными случаями), включая модели Пуассона с нулевым раздутием.В зависимости от времени дополнительные темы могут включать анализ выживаемости, обобщенные аддитивные модели или модели для пространственных данных.

  Предварительные требования: Статистика 230 и 250 (ранее математика 245 и 275) или разрешение преподавателя 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; не предлагается 2021–2022 гг.

• STAT 340: Байесовская статистика

  Ранее MATH 315) Введение в статистический вывод и моделирование в байесовской парадигме.Темы включают теорему Байеса, общие априорные и апостериорные распределения, иерархические модели, методы Монте-Карло цепи Маркова (например, алгоритм Метрополиса-Гастингса и выборку Гиббса), а также адекватность модели и апостериорные прогностические проверки. Курс широко использует R для моделирования.

  Предпосылки: Статистика 250 (ранее Математика 275) 6 кредитов; Формальное или статистическое рассуждение, количественное рассуждение; предложил Осень 2021 · Адам Лой

• STAT 400: интегративное упражнение

  Либо исследовательский проект в малых группах, либо индивидуальное, независимое чтение.Требуется для всех старших специальностей.

  Пререквизиты: старший статистик. Студентам настоятельно рекомендуется пройти статистику 230 (ранее математика 245) и статистика 250 (ранее математика 275) перед началом этого курса. 3 кредита; S / NC; предложил Осень 2021 г., Зима 2022 г., Весна 2022 г. · Энди Поппик , Адам Лой , Дипак Бастола , Лаура Чихара

не найдено | UMGC

Скидка для федеральных служащих и их супругов, а также имеющих право иждивенцев будет применяться к платным программам обучения за пределами штата и программам для получения дипломов по специальности.Это не относится к докторским программам. Эта скидка не суммируется со стипендией по окончании обучения для студентов муниципальных колледжей Мэриленда или со стипендией по окончанию обучения в Пенсильвании.

Стоимость обучения по программе бакалавриата и стандартной программы магистратуры для студентов, которые соответствуют критериям проживания в Мэриленде, будет действующей в штате. Обучение военнослужащих срочной службы; члены Избранных заповедников, Национальной гвардии и Уполномоченного корпуса Службы общественного здравоохранения США и Национального управления океанических и атмосферных исследований; а супруги и иждивенцы этих студенческих групп будут иметь действующий военный или специальный тариф.Если вы студент и пользуетесь льготами после 9/11, обратитесь к консультанту по телефону 800-939-8682, чтобы узнать, можете ли вы подать заявку на оба пособия.

Все студенты должны платить за обучение на всех курсах, на которые они записаны. Стоимость обучения подлежит утверждению Попечительским советом университетской системы штата Мэриленд. Они могут быть изменены или могут быть включены другие сборы в результате решений Попечительского совета. Несмотря на любые другие положения этой или любой другой университетской публикации, университет оставляет за собой право вносить изменения в плату за обучение, плату и другие сборы в любое время, когда такие изменения будут сочтены необходимыми университетом и Попечительским советом USM.

Попечительский совет уполномочил университет взимать с просроченного счета студента все расходы по взысканию, понесенные университетом. Обычный сбор составляет 17 процентов плюс расходы на адвоката и / или судебные издержки. Плата за обслуживание неоплаченного чека составляет 30 долларов. Запросы на услуги (например, выписки, дипломы, регистрация) будут отклоняться до тех пор, пока не будут оплачены все долги.

Подробную информацию о требованиях к проживанию см. В политике резидентства USM.

Финансовая помощь и отчисления за обучение для сотрудников Университетской системы штата Мэриленд не распространяются на некредитные курсы.Преимущества Golden ID не могут применяться к платным, некредитным курсам, программам повышения квалификации или докторским программам. При совместном обучении, экзаменах по курсу и экзаменах EXCEL 301.

Бакалавриат — факультет математики, прикладной математики и статистики

MATH 110. Введение в математические коммуникации и программное обеспечение (1)

Математические текстовые редакторы. Математическая композиция и изложение. Размещение математических материалов в сети.Основы компьютерной символьной манипуляции (Mathematica). Компьютерная обработка векторов / матриц и приложения (MATLAB). Основные компьютерные статистические методы (Minitab). Интеграция результатов компьютерных вычислений в текст.

MATH 120. Элементарные функции и аналитическая геометрия (3)

Полиномиальные, рациональные, экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции (упор на вычисления, построение графиков и расположение корней) прямые и конические сечения.В первую очередь это предварительный курс для студентов, не имеющих хорошего знания тригонометрических функций, построения графиков и / или аналитической геометрии. Не принимаются учащиеся с зачетными баллами по MATH 121 или MATH 125. Необходимое условие: три года обучения математике в средней школе.

MATH 121. Исчисление для науки и техники I (4)

Функции, аналитическая геометрия прямых и многочленов, пределы, производные алгебраических и тригонометрических функций. Определенный интеграл, первообразные, основная теорема исчисления, замена переменных.Необходимые условия: три с половиной года изучения математики в средней школе.

MATH 122. Исчисление для науки и техники II (4)

Продолжение MATH 121. Показатели и логарифмы, рост и спад, обратные тригонометрические функции, связанные скорости, основные методы интегрирования, площадь и объем, полярные координаты, параметрические уравнения. Многочлены Тейлора и теорема Тейлора. Предварительно: MATH 121.

MATH 124. Исчисление II (4)

Обзор дифференциации.Методы интегрирования и приложения определенного интеграла. Параметрические уравнения и полярные координаты. Теорема Тейлора. Последовательности, ряды, степенные ряды. Сложная арифметика. Введение в многомерное исчисление. Требуется: МАТЕМАТИКА 123 и размещение отделом.

MATH 125. Математика I (4)

Дискретная и непрерывная вероятность; дифференциальное и интегральное исчисление одной переменной; графики, связанные ставки, максимумы и минимумы. Интеграционные методы, численные методы, объемы, площади.Приложения к физическим, естественным и социальным наукам. Студенты, планирующие более двух семестров вводного курса математики, должны сдать MATH 121. Предварительные требования: три с половиной года изучения математики в средней школе.

МАТЕМАТИКА 126. Математика II (4)

Продолжение MATH 125, охватывающее дифференциальные уравнения, многомерное исчисление, дискретные методы. Частные производные, максимумы и минимумы для функций двух переменных, линейная регрессия. Дифференциальные уравнения; уравнения первого и второго порядка, системы, методы рядов Тейлора; Метод Ньютона; разностные уравнения.Требуется: MATH 125.

MATH 150. Математика с точки зрения математика (3)

Разработана интересная и доступная математическая тема, не охваченная стандартным учебным планом. Студенты знакомятся с методами математических рассуждений и исторической прогрессией математических понятий. Знакомство с методами работы математиков и их отношением к своей профессии. Его следует сдавать в первый год обучения, чтобы рассчитывать на получение специализации по математике.Необходимые условия: три с половиной года изучения математики в средней школе.

MATH 201. Введение в линейную алгебру (3)

Матричные операции, системы линейных уравнений, векторные пространства, подпространства, базисы и линейная независимость, собственные значения и собственные векторы, диагонализация матриц, линейные преобразования, определители. Менее теоретически, чем MATH 307.

MATH 223. Исчисление для науки и техники III (3)

Введение в векторную алгебру; линии и плоскости.Функции нескольких переменных: частные производные, градиенты, цепное правило, производная по направлению, максимумы / минимумы. Кратные интегралы, цилиндрические и сферические координаты. Производные векторных функций, скорости и ускорения. Векторные поля, линейные интегралы, теорема Грина. Требуется: MATH 122.

MATH 224. Элементарные дифференциальные уравнения (3)

Первый курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка и приложения, линейные уравнения с постоянными коэффициентами, линейные системы, преобразования Лапласа, численные методы решения.Предварительно: MATH 223.

МАТЕМАТИКА 227. Исчисление III (3)

Векторная алгебра и геометрия. Линейные карты и матрицы. Исчисление векторных функций. Производные функций многих переменных. Кратные интегралы. Векторные поля и линейные интегралы. Предварительные требования: MATH 124 или размещение по отделам.

MATH 228. Дифференциальные уравнения (3)

Элементарные обыкновенные дифференциальные уравнения: уравнения первого порядка; линейные системы; Приложения; численные методы решения.Предварительно: MATH 227.

MATH 301. Курс чтения для бакалавров (1-3)

Студенты должны получить одобрение старшего профессора перед регистрацией. Более чем один кредитный час должен быть одобрен студенческим комитетом факультета.

MATH 302. Ведомственный семинар (3)

Семинар, посвященный пониманию постановки и решения математических задач. Ведомственный семинар SAGES.Студенты будут исследовать, с различных возможных точек зрения, с помощью тематических исследований, как математика развивается как дисциплина — чем занимаются математики. Курс будет в основном в формате семинара. Будет два задания, связанных с письмом в дисциплинированном стиле. Зачисление по разрешению (ограничено специальностями в зависимости от спроса).

MATH 303. Элементарная теория чисел (3)

Простые числа и делимость, теория сравнений и теоретико-числовые функции.Диофантовы уравнения, квадратичная теория вычетов и другие темы, определяемые интересами студентов. Акцент на решение проблем (формулирование домыслов и их обоснование). Требуется: MATH 122.

MATH 304. Дискретная математика (3)

Общее введение в основную математическую терминологию и методы абстрактной математики в контексте дискретной математики. Представленные темы: математические рассуждения, логические связки, дедукция, математическая индукция, множества, функции и отношения, алгоритмы, графики, комбинаторные рассуждения.Предварительные требования: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 122 или МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 126.

MATH 305. Введение в высшую математику. (3)

Курс теории и практики письма и чтения по математике. Основные темы — логика и язык математики, методы доказательства, теория множеств и функции. Дополнительные темы могут включать введение в теорию чисел, теорию групп, топологию или другие области продвинутой математики. Предварительные требования: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 122 или МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 124 или МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 126.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 307.Линейная алгебра (3)

Курс линейной алгебры, изучающий основы векторных пространств, пространств внутренних произведений и линейных преобразований на аксиоматической основе. Темы включают: решения линейных систем, матричную алгебру над действительными и комплексными числами, линейную независимость, основы и размерность, собственные значения и собственные векторы, разложение по сингулярным числам и определители. Другие темы могут включать метод наименьших квадратов, общее внутреннее произведение и нормированные пространства, ортогональные проекции, конечномерную спектральную теорему.Этот курс требуется всем студентам, изучающим математику и прикладную математику. Более теоретический, чем MATH 201.

MATH 308. Введение в абстрактную алгебру (3)

Первый курс абстрактной алгебры, изучаемый на аксиоматической основе. Основные изучаемые алгебраические структуры — это группы, кольца и поля. Темы включают гомоморфизмы и фактор-структуры. Этот курс требуется всем студентам, изучающим математику. Это полезно, но не обязательно, чтобы студент сдал МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 307 перед МАТЕМАТИЧЕСКИМ 308.

MATH 319. Прикладные вероятностные и стохастические процессы в биологии (3)

Приложения вероятностей и случайных процессов к биологическим системам. Математические темы будут включать: введение в дискретные и непрерывные вероятностные пространства (включая численное генерирование псевдослучайных выборок из заданных распределений вероятностей), марковские процессы в дискретном и непрерывном времени с дискретными и непрерывными пространствами выборок, точечные процессы, включая однородные и неоднородные пуассоновские процессы и марковские процессы. цепочки на графах и диффузионные процессы, включая броуновское движение и процесс Орнштейна-Уленбека.Биологические темы будут определяться интересами студентов и преподавателя. Вероятные темы включают в себя: стохастические ионные каналы, молекулярные двигатели и стохастические храповики, полимеризацию актина и тубулина, модели случайных блужданий для нейронных спайков, бактериальный хемотаксис, сигнальные и генетические регуляторные сети, а также стохастическую динамику хищник-жертва. Акцент будет сделан на практическом моделировании и анализе случайных явлений в биологических системах. Численные методы будут разработаны с использованием как MATLAB, так и статистического пакета R.Студенческие проекты составят основную часть курса. Предварительные требования: MATH 224 или MATH 228, или BIOL 300, или BIOL 306. Перечислены как BIOL 319, BIOL 419, EECS 319

MATH 321. Основы анализа I (3)

Абстрактные математические рассуждения в контексте анализа в евклидовом пространстве. Введение в формальные рассуждения, множества и функции, а также системы счисления. Последовательности и серии; Последовательности Коши и сходимость. Обязателен для всех специальностей математики.Предварительно: MATH 223.

MATH 322. Основы анализа II (3)

Продолжение MATH 321. Точечно-множественная топология в метрических пространствах с уделением внимания n-мерному пространству; полнота, компактность, связность и непрерывность функций. Темы в последовательностях, рядах функций, равномерной сходимости, рядах Фурье и полиномиальной аппроксимации. Теоретическое развитие дифференцирования и интеграции Римана. Обязателен для всех специальностей математики.Предварительно: MATH 321.

MATH 324. Введение в комплексный анализ (3)

Свойства, особенности и представления аналитических функций, комплексное интегрирование. Теоремы Коши, вычеты рядов, конформное отображение и аналитическое продолжение. Римановы поверхности. Актуальность для теории физических проблем. Предварительно: MATH 224.

MATH 326. Геометрия и комплексный анализ (3)

Темой этого курса будет взаимодействие геометрии и комплексного анализа, алгебры и других областей математики.Будет предпринята попытка выделить важные, неожиданные связи между основными областями, иллюстрирующие единство математики. Выбор текста (ов) и самой учебной программы будет гибким и адаптироваться к диапазону интересов и биографии предварительно зачисленных студентов. Возможные темы: группа Мебиуса и ее подгруппы, гиперболическая геометрия, эллиптические функции, римановы поверхности, приложения конформного отображения и теория потенциала в классических физических моделях. Предлагается как MATH 326 и MATH 426.Предварительно: MATH 324.

MATH 327. Выпуклость и оптимизация (3)

Введение в теорию выпуклых множеств и функций и до крайностей в задачах в областях математики, где выпуклость играет роль. Среди обсуждаемых тем — основные свойства выпуклых множеств (крайние точки, лицевая структура многогранников), теоремы разделения, двойственность и поляры, свойства выпуклых функций, минимумы и максимумы выпуклых функций над выпуклым множеством, различные задачи оптимизации.Предварительные требования: MATH 223 или согласие.

MATH 330. Научные вычисления: основы и приложения (3)

Вводный обзор научных вычислений, от принципов к приложениям. Темы включают точность и эффективность, согласование и стабильность, численное решение линейных и нелинейных систем, оптимизацию, интерполяцию, квадратурные правила, численные решения ОДУ и УЧП. Coreq: MATH 224.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 333.Математика и мозг (3)

Этот курс предназначен для студентов старших курсов по математике, когнитивным наукам, биомедицинской инженерии, биологии или нейробиологии, которые заинтересованы в количественном исследовании мозга и его функций. Студенты будут ознакомлены с различными математическими методами, необходимыми для моделирования и моделирования различных функций мозга, а также для анализа результатов моделирования и имеющихся данных измерений. За математическим изложением, при необходимости, последует соответствующая реализация в Matlab.Курс будет охватывать некоторые основные темы математических аспектов дифференциальных уравнений, электромагнетизма, обратных задач и визуализации, связанных с функциями мозга. Будет рассмотрен вопрос проверки и фальсификации математических моделей в свете имеющихся экспериментальных данных. Этот курс станет первым шагом к организации различных методов исследования мозга в единой математической структуре. Заключительная презентация и письменный отчет являются частью требований курса.Предварительные требования: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 224 или МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 228.

MATH 338. Введение в динамические системы (3)

Нелинейные дискретные динамические системы в одном и двух измерениях. Хаотическая динамика, элементарная теория бифуркаций, гиперболичность, символическая динамика, структурная устойчивость, теория устойчивых многообразий. Предварительно: MATH 223.

MATH 342. Введение в исследования в области математической биологии (1)

Цель этого семинара — познакомить студентов с некоторыми исследованиями, проводимыми в Case, которые исследуют вопросы на стыке математики и биологии.Студенты изучат примерно пять совместных исследований, проведя по две недели с каждой исследовательской группой. В первых трех классах каждого двухнедельного блока студенты будут читать и обсуждать соответствующие статьи под руководством членов этой исследовательской группы, а двухнедельный период завершится выступлением, в котором член исследовательской группы представит потенциальный бакалаврский проект в этой области. После заключительного группового выступления студенты разделятся на группы от двух до четырех человек и выберут один проект для дальнейшего изучения.Вместе они напишут этот проект как исследовательское предложение, представив проблему, объяснив, как она связана с более широкими научными вопросами, и обрисовав в общих чертах предлагаемую работу. Ожидается, что студенты будут использовать ассоциированную исследовательскую группу в качестве ресурса, но предложение должно быть их собственной работой. Студенты отправят первый черновик, получат отзыв, а затем отправят исправленный черновик. Предлагается как BIOL 309 и MATH 342.

MATH 343. Теоретическая информатика (3)

Введение в математическую логику, различные классы автоматов и их соответствие различным классам формальных языков, рекурсивные функции и вычислимость, утверждения и верификация программ, денотационная семантика.MATH / EECS 343 и MATH 410 одновременно не могут быть приняты в качестве кредита. Предварительные требования: MATH 304 и EECS 340. Перечислены как EECS 343.

MATH 351. Старший проект по программе «Математика и физика» (2)

Двухсеместровый курс (2 кредита в семестр) в совместной программе B.S. по программе математики и физики. Проект, основанный на численных и / или теоретических исследованиях под руководством преподавателя математики, возможно, совместно с преподавателем физики.Изучение методов, используемых в конкретной области исследования, и недавней литературы, связанной с проектом. Работа, приводящая к значимым результатам, которые должны быть представлены в виде курсовой работы и устного отчета в конце второго семестра. Кураторский факультет будет регулярно проверять успеваемость студента, включая подробные отчеты о проделанной работе, составляемые дважды за семестр, чтобы гарантировать успешное завершение работы.

MATH 352. Математика Capstone (3)

Математика Senior Project.Студенты реализуют проект, основанный на экспериментальных, теоретических или педагогических исследованиях, под руководством преподавателя математического факультета, преподавателя из другого тематического отдела или ученого-исследователя или инженера из другого учреждения. Старший координатор проекта департамента должен утверждать все проектные предложения, и это же лицо будет получать регулярные устные и письменные отчеты о ходе выполнения. Окончательные результаты представляются в конце второго семестра в виде статьи в стиле, подходящем для публикации в профессиональном журнале, а также в виде устного отчета на публичном симпозиуме по математике.

MATH 357. Математическое моделирование в различных науках (3)

Курс из трех кредитов по математическому моделированию применительно к наукам о происхождении. Студенты получают практический опыт в широком спектре методов моделирования исследовательских вопросов в космологии и астрофизике, интегративной эволюционной биологии (включая физическую антропологию, экологию, палеонтологию и эволюционную когнитивную науку), а также в планетологии и астробиологии. Предлагается как ORIG 301, ORIG 401 и MATH 357.

MATH 361. Геометрия I (3)

Введение в различные двумерные геометрии, включая евклидову, сферическую, гиперболическую, проективную и аффинную. Курс исследует аксиоматические основы геометрии с упором на трансформации. Темы включают постулат параллельности и его альтернативы, изометрию и группы преобразований, мозаики, гиперболическую плоскость и ее модели, сферическую геометрию, аффинные и проективные преобразования и другие темы.Мы исследуем роль комплексных и гиперкомплексных чисел в алгебраическом представлении преобразований. Курс самодостаточен. Предварительно: MATH 224.

MATH 363. Теория узлов (3)

Введение в математическую теорию узлов и зацеплений с акцентом на современные комбинаторные методы. Рейдемейстер движется по проекциям зацеплений, объемным и регулярным изотопам, триколируемости зацепляющих чисел, рациональным сплетениям, косам, торическим узлам, поверхностям Зейферта и родам, полиномам узлов (скобка, X, Джонс, Александер, HOMFLY), числам пересечений чередующихся узлов и амфитеиральности .Связь с теоретической физикой, молекулярной биологией и другими научными приложениями будет осуществляться в семестровых проектах, в зависимости от фона и интересов студентов. Предварительно: MATH 223.

MATH 365. Введение в алгебраическую геометрию (3)

Это первое введение в алгебраическую геометрию — изучение решений полиномиальных уравнений — для продвинутых студентов бакалавриата. Недавнее применение этой большой и важной области включает теорию чисел, комбинаторику, теоретическую физику, теорию кодирования и робототехнику.В этом курсе мы изучим основные объекты и понятия алгебраической геометрии. Темы, которые планируется охватить, включают аффинные и проективные многообразия, топологию Зарисского, соответствие между идеалами и многообразиями, пучок регулярных функций, регулярные и рациональные отображения, размерности и касательные пространства. Будут обсуждаться такие примеры, как грассманианы, кривые и раздутия. В зависимости от временных ограничений мы также можем коснуться современного языка схем, линейных расслоений и формулы Римана-Роха, а также алгоритмических методов, таких как базисы Грёбнера.

MATH 376. Динамика биологических систем II: инструменты для математической биологии (3)

Основываясь на материале «Биологии 300», этот курс фокусируется на математических инструментах, используемых для построения и анализа биологических моделей, с примерами, взятыми в основном из экологии, а также из эпидемиологии, биологии развития и других областей. Особое внимание уделяется аналитическим методам «бумага и карандаш», но мы также будем использовать компьютеры, чтобы помочь развить интуицию. К концу курса студенты должны уметь распознавать основные строительные блоки в биологических моделях, уметь выполнять простой анализ и более свободно переводить словесные и математические описания.Предлагается как BIOL 306 и MATH 376. Требуется: BIOL 300 или MATH 224 или согласие инструктора.

MATH 378: Вычислительная неврология (3)

Компьютерное моделирование и математический анализ нейронов и нейронных цепей, а также вычислительных свойств нервных систем. Студентов обучают ряду моделей нейронов и нейронных цепей, и их просят реализовать и изучить вычислительные и динамические свойства этих моделей. Курс знакомит студентов с теорией динамических систем для анализа нейронов и нейронных цепей, а также с теорией кабеля, пассивным и активным компартментальным моделированием, методами численной интеграции, моделями пластичности и обучения, моделями систем мозга и их связью с искусственными. и нейронные сети.Требуется срочный проект. Студенты, зарегистрированные в MATH 478, будут договариваться с преподавателем о посещении дополнительных лекций и выполнении дополнительных заданий по математическим темам, связанным с курсом. Предварительно: MATH 223 и MATH 224 или BIOL 300 и BIOL 306, или согласие отдела. Перечислены как EBME 478, EECS 478, MATH 478, NEUR 478

MATH 380. Введение в вероятность (3)

Комбинаторный анализ. Перестановки и комбинации.Аксиомы вероятности. Примерное пространство и события. Одинаково вероятные исходы. Условная возможность. Формула Байеса. Самостоятельные события и испытания. Дискретные случайные величины, вероятностные массовые функции. Ожидаемая стоимость, отклонение. Бернулли, биномиальные, пуассоновские, геометрические, отрицательные биномиальные случайные величины. Непрерывные случайные величины, функции плотности. Ожидаемая стоимость и отклонение. Равномерные, нормальные, экспоненциальные, гамма-случайные величины. Предельная теорема Де Муавра-Лапласа. Совместные вероятностные массовые функции и плотности.Независимые случайные величины и распределение их сумм. Ковариация. Условные ожидания и распределения (дискретный случай). Функции, генерирующие моменты. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Дополнительные темы (если позволяет время): процесс Пуассона, цепи Маркова в конечном пространстве состояний, энтропия. Предварительные требования: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 223 или МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 227.

MATH 382. Высокая размерная вероятность (3)

Поведение случайных векторов, случайных матриц и случайных проекций в пространствах большой размерности с точки зрения приложений в науках о данных.Темы включают неравенства хвоста для сумм независимых случайных величин, нормы случайных матриц, концентрацию меры и границы для случайных процессов. Приложения могут включать структуру случайных графов, обнаружение сообществ, ковариационную оценку и кластеризацию, рандомизированное уменьшение размерности, эмпирические процессы, статистическое обучение и проблемы разреженного восстановления. Для аспирантов требуется дополнительная работа. Предлагается как MATH 382, ​​MATH 482, STAT 382 и STAT 482.

МАТЕМАТИКА 383.Темы вероятности (3)

Это второй вероятностный курс бакалавриата. Темы могут включать случайные процессы, цепи Маркова, броуновское движение, мартингалы, теоретико-мерные основы вероятности, количественную теорию пределов / скорости сходимости, методы связи, методы Фурье и эргодическую теорию. Требуется: MATH 380.

MATH 394. Введение в теорию информации (3)

Этот курс предназначен как введение в теорию информации и кодирования с упором на математические аспекты.Он подходит для продвинутых студентов и аспирантов по математике, прикладной математике, статистике, физике, информатике и электротехнике. Содержание курса: информационные меры — энтропия, относительная энтропия, взаимная информация и их свойства. Типовые множества и последовательности, свойство асимптотической равнораспределенности, сжатие данных. Канальное кодирование и пропускная способность: теорема канального кодирования. Дифференциальная энтропия, гауссовский канал, теорема Шеннона-Найквиста. Неравенства теории информации (уровень 400).Дополнительные темы, которые могут включать сжатое зондирование и элементы квантовой теории информации. Рекомендуемая подготовка: MATH 201 или MATH 307. Предлагается как MATH 394, EECS 394, MATH 494 и EECS 494.

курсов | Кафедра математики

Предложения лета 2021 г. Предложения осени 2021 г. Информация о курсе в архивах SIS

Описание курсов

Курсы, представленные ниже, включают описание всех курсов бакалавриата и магистратуры, предлагаемых Департаментом математики, хотя некоторые курсы могут преподаваться чаще, чем другие.Описания семинаров по специальным темам обновляются каждый семестр.

Посетите страницы бакалавриата и магистратуры, чтобы узнать о требованиях к конкретным программам. Актуальную информацию о предложениях курсов, расписании, расположении комнат и регистрации можно найти в Информационной системе для студентов (SIS).

Бакалавриат

MATH 0014 Введение в конечную математику. Темы, выбранные из финансовой математики, матричной алгебры, линейных неравенств и линейного программирования, подсчета аргументов, статистики и вероятности.Рекомендации: Высшая школа геометрии и алгебры. (Математика 30 не является обязательным условием.) Студентам инженерных специальностей не разрешается брать MATH 14 в качестве кредита.

MATH 15 Математика в древности. (Перечислен как CLS 15) История математики в вавилонской, египетской, греческой и других древних цивилизациях. Системы счисления и вычислительная техника; достижения в элементарной алгебре, геометрии и теории чисел; известные результаты, доказательства и конструкции. Акцент на решение проблем в стиле и духе каждой культуры.Студентам инженерных специальностей не разрешается брать MATH 15 в качестве кредита.

MATH 16 Симметрия. Математическая обработка симметрии рисунков обоев. Основная цель — доказать, что симметрии этих паттернов делятся на семнадцать различных типов. Кроме того, студенты научатся определять симметрии заданных узоров (с особым акцентом на периодические рисунки М.С. Эшера) и рисовать такие узоры. Три лекции, один раздел. Рекомендации: Высшая школа геометрии.Студентам инженерных специальностей не разрешается брать MATH 16 в качестве кредита.

MATH 19 Математика социального выбора. Введение в математические методы решения вопросов, возникающих при принятии социальных решений. Темы различаются, но обычно включают ранжирование, определение силы и выбор участников на выборах с участием нескольких и двух кандидатов, а также распределение голосов и вознаграждений между кандидатами. Рекомендации: Высшая школа алгебры. Студентам инженерных специальностей не разрешается брать MATH 19 в качестве кредита.

MATH 21 Вводная статистика. Описательный анализ данных, выборка и экспериментирование, основные правила вероятности, биномиальное и нормальное распределения, оценка, регрессионный анализ, одно- и двухвыборочные тесты гипотез для средних и пропорций. Курс также может включать в себя анализ таблицы непредвиденных обстоятельств и непараметрическую оценку. Приложения из самых разных дисциплин. Рекомендации: Высшая школа алгебры и геометрии.

MATH 30 Введение в исчисление. Функции и их графики, пределы, производные, методы дифференцирования. Приложения производных, построение кривых, экстремальные задачи. Интегрирование: неопределенные и определенные интегралы, некоторые методы интегрирования, основная теорема исчисления. Логарифмические и экспоненциальные функции с приложениями. Рекомендации: Высшая школа геометрии и алгебры. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 30 — это односеместровый курс исчисления и не является адекватной подготовкой к МАТЕМАТИЧЕСКОМУ 34. Студенты получат дополнительные два кредита (с оценкой) за сдачу МАТЕМАТИКИ 32 после получения кредита за МАТЕМАТИЮ 30.МАТЕМАТИКА 32 должна быть сдана в Пучках и для оценки.

MATH 32 Исчисление I. Дифференциальное и интегральное исчисление: пределы и непрерывность, производная и методы дифференцирования, экстремальные задачи, связанные скорости, определенный интеграл, основная теорема исчисления, производные и интегралы от тригонометрических функций, логарифмические и экспоненциальные функции . Рекомендации: высшая школа геометрии, алгебры и тригонометрии. Студенты получат дополнительные два кредита (с оценкой) за прохождение MATH 32 после получения кредита за MATH 30.МАТЕМАТИКА 32 должна быть сдана в Пучках и для оценки.

MATH 34 Исчисление II. Приложения интеграла, техника интегрирования, разделимые дифференциальные уравнения, несобственные интегралы. Последовательности, ряды, тесты сходимости, ряды Тейлора. Полярные координаты, комплексные числа. Студенты могут засчитать только одну из МАТЕМАТИКИ 34 и МАТЕМАТИКИ 36 в качестве кредита. Рекомендации: MATH 32.

MATH 39 Вычисление с отличием I-ii. (Ранее MATH 17). Первый курс двух семестрового цикла начисления с отличием.Предназначен для учащихся, которые прошли по крайней мере программу AB по продвинутой математике в средней школе. Подчеркивает теоретические аспекты предмета, включая доказательства основных результатов. Темы включают: сходимость последовательностей и рядов; непрерывные функции, теоремы о промежуточном и экстремальном значении; определение производной, формальное дифференцирование, поиск экстремумов, построение кривых, теоремы о среднем значении; основная теория интеграла Римана, основная теорема исчисления и формального интегрирования, несобственные интегралы; Ряды Тейлора, степенные ряды и аналитические функции.Рекомендации: AB программа углубленного изучения математики. Студенты, получившие зачет по MATH 39 (ранее MATH 17), не могут получить зачет по MATH 30, 32 или 34 (ранее по MATH 5, 11 или 12). После успешного завершения MATH 39 все студенты получают два кредита

MATH 42 Исчисление III. Векторы в двух и трех измерениях, приложения производной векторных функций одной переменной. Функции многих переменных, непрерывность, частные производные, градиент, производные по направлениям.Кратные интегралы и их приложения. Линейные интегралы, теорема Грина, теорема о расходимости, теорема Стокса. Предпосылка: MATH 34 или 39.

MATH 44 Расчет с отличием III. Анализ действительных и векторных функций одной или нескольких переменных с использованием инструментов линейной и полилинейной алгебры; упор делается на теоретические аспекты предмета, включая доказательства основных результатов. Темы включают: геометрию и алгебру векторов в 3-м пространстве, параметризованные кривые и длину дуги, линейные преобразования и матрицы; Якобиан и градиент вещественнозначной функции, теорема о неявной функции, экстремумы, теорема Тейлора и множители Лагранжа; множественные интегралы, дифференциальные формы и векторные поля, линейные интегралы, параметризованные поверхности и поверхностные интегралы, точные и замкнутые формы, векторное исчисление.
Рекомендации: МАТЕМАТИКА 39 или разрешение преподавателя. Студенты, получившие зачет по MATH 44, не могут получить зачет по MATH 42.

MATH 51 Дифференциальные уравнения. Введение в линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, линейную алгебру и преобразования Лапласа. Рекомендации: MATH 42 или 44.

MATH 65 Мост к высшей математике. Введение в строгие рассуждения, применимые во всех областях математики, для подготовки к курсам, основанным на доказательствах на уровне 100.Написание доказательств с точным рассуждением и ясным изложением. Темы могут включать индукцию, функции и отношения, комбинаторику, модульную арифметику, теорию графов и сходимость последовательностей и рядов действительных чисел. Рекомендации: МАТЕМАТИКА 34 или разрешение.

MATH 70 Линейная алгебра. Введение в теорию векторных пространств и линейных преобразований вещественных или комплексных чисел, включая линейную независимость, размерность, умножение матриц, подобие и изменение базиса, скалярные произведения, собственные значения и собственные векторы, а также некоторые приложения.Рекомендации: МАТЕМАТИКА 34 или 39 или разрешение инструктора. Студенты могут засчитать только один из МАТЕМАТИЧЕСКИХ 70 и МАТЕМАТИЧЕСКИ 72 для кредита.

MATH 87 Математическое моделирование и вычисления. Обзор основных методов использования математики для моделирования физических, биологических, экономических и других систем; Темы могут включать оптимизацию на основе производных и анализ чувствительности, линейное программирование, алгоритмы графов, вероятностное моделирование, методы Монте-Карло, разностные уравнения и подгонку статистических данных.Этот курс включает введение в вычисления с использованием языка программирования высокого уровня и изучает преобразование математических объектов в вычислительные алгоритмы. Предварительные требования: (1) МАТЕМАТИКА 34, 36 или 39 и (2) Математика 70 или 72 или разрешение преподавателя. Рекомендации: MATH 34, MATH 36 или MATH 39 или согласие.

MATH 102 Математическое образование: от чисел к функциям. Интегрированное представление математики и педагогики с приложениями к науке и реальным жизненным ситуациям.Сосредоточьтесь на математических концепциях и педагогических выводах, лежащих в основе следующих тем: действительные числа, дроби и их множественные представления, введение в функции: интуитивное и формальное определение функции, композиция функций, представления в виде таблиц, графиков, динаграфов, алгебраических и вербальных выражения, критерий вертикальной линии, композиция функций, примеры функций, получаемых из арифметических операций, а также функции, обычно используемые в математике и науке, функциональный подход к делению с остатком, десятичные дроби и десятичное представление рациональных чисел, делимость для целых чисел и разложение на произведение степеней простых чисел.Обучающие проекты с учениками школьного возраста являются неотъемлемой частью этого курса. Предлагается онлайн с личным компонентом. Разрешение инструктора.

MATH 103 Математическое образование: преобразования и уравнения. Интегрированное представление математики и педагогики с приложениями к науке и реальным жизненным ситуациям. Сосредоточьтесь на математических концепциях и педагогических выводах, лежащих в основе следующих тем: преобразования плоскости с упором на сравнение с арифметическими операциями и действие преобразований на графики функций.Геометрические и алгебраические интерпретации уравнений. Использование преобразований в решениях линейных и квадратных уравнений. Делимость для целых чисел и многочленов, алгоритм Евклида для наибольшего общего делителя, делимость и факторизация многочленов и его решение при решении полиномиальных уравнений. Обучающие проекты с учениками школьного возраста являются неотъемлемой частью курса. Этот курс предлагается в интерактивном режиме с очной частью. Разрешение инструктора.

MATH 104 Математическое образование: изменение и неизменность. Интегрированное представление математики и педагогики с приложениями к науке и реальным жизненным ситуациям. Сосредоточьтесь на математических концепциях и педагогических выводах, лежащих в основе следующих тем: Помощь учащимся в решении текстовых задач. Функции нескольких переменных. Линейные системы уравнений и их решения. Пределы последовательностей и функций, пределы на бесконечности. Наклон и скорость изменения нелинейных функций.Производная функция и приложения. Обучающие проекты с учениками школьного возраста являются неотъемлемой частью курса. Этот курс предлагается в интерактивном режиме с очной частью. Разрешение инструктора.

MATH 110 Специальные разделы математического образования. Предназначен для обучения студентов. Встречается с курсом математики среднего уровня с упором на доказательства (например, Math 63, 70 и 72). Дополнительный контент связывает математику с обучением студентов. У студентов есть дополнительные педагогические обязанности, которые должны быть определены с преподавателем математики и инструктором в отделе образования.Оценка по курсу математики будет считаться 75% оценки за курс, и для ее сдачи студент должен получить по курсу математики не менее B +. Не засчитывается ни для получения степени на математическом факультете, ни для зачета распределения A&S по математическим наукам. Разрешение инструктора.

MATH 112 Разделы истории математики. Эволюция математических понятий и методов от древности до современности. Рекомендации: МАТЕМАТИКА 34 или 39 или разрешение инструктора.

MATH 123 Математические аспекты анализа данных. Уменьшение размерности и сжатие данных с помощью анализа главных компонентов и разложения по сингулярным значениям; k-означает кластеризацию; кластеризация посредством диффузии на взвешенных графах; опорные векторные машины; тензорный анализ данных; трюк с ядром. Домашнее задание включает программирование. Предварительные требования: MATH 42, MATH 70 или MATH 72. Некоторый предшествующий опыт программирования желателен, но не требуется.

MATH 125 Численный анализ. (Перечислен как COMP 125.) Анализ алгоритмов, включающих вычисления с действительными числами. Интерполяция, методы решения линейных и нелинейных систем уравнений, численное интегрирование, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рекомендации: MATH 51 и умение программировать на таких языках, как C, C ++, Fortran или Matlab.

MATH 126 Численная линейная алгебра. (Перечислены как COMP 126) Две основные вычислительные задачи линейной алгебры: решение линейных систем и вычисление собственных значений и собственных векторов.Рекомендации: MATH 70 или 72 и COMP 11.

MATH 133 Комплексные переменные. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной, аналитические функции, интегральную теорему и формулу Коши, вычеты, разложения аналитических функций в ряд, конформное представление, целые и мероморфные функции, многозначные функции. Рекомендации: МАТЕМАТИКА 42 или 44, или разрешение инструктора.

MATH 135 Реальный анализ I. Введение в анализ.Метрические пространства (с евклидовыми пространствами в качестве основного примера), компактность, связность, непрерывность и равномерная непрерывность, равномерная сходимость, пространство непрерывных функций на компакте, лемма сжимающего отображения с приложениями. Рекомендации: MATH 0042 или 0044 и MATH 0065; или разрешение инструктора

MATH 136 Реальный анализ II. Применение идей из MATH 135 для дальнейшего углубленного изучения функций на евклидовых пространствах. Производные как линейные отображения, дифференцируемые отображения, теоремы об обратных и неявных функциях.Дополнительные темы, такие как теория интеграла Римана и Лебега, гильбертовы пространства и ряды Фурье. Рекомендации: MATH 0070 или 0072 и MATH 0135; или разрешение инструктора.

MATH 145 Абстрактная алгебра I. Введение в основные понятия абстрактной алгебры, включая группы и кольца. Рекомендации: MATH 0065 и MATH 0070 или 0072; или разрешение инструктора.

MATH 146 Абстрактная алгебра II. Другие темы в группах и кольцах.Расширения полей и теория Галуа. Рекомендации: MATH 0070 или 0072 и MATH 0145 или 0215; или разрешение инструктора.

MATH 151 Математическая неврология. (Перекрестный список с BIO 151) Математическое и вычислительное исследование систем дифференциальных уравнений, моделирующих нервные клетки (равновесия, предельные циклы, бифуркации), нейронные сети (внутренняя ритмическая синхронизация, увлечение внешними входами) и обучение (синаптическая пластичность), и о потенциальной функции ритмической синхронизации для передачи сигналов между нейронными сетями и для пластичности.Предварительное условие: математика 51 или согласие преподавателя.

MATH 153 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Курс высшего уровня по обыкновенным дифференциальным уравнениям с прикладной точки зрения. Равновесия, предельные циклы и их устойчивость. Седло-узел, вилы, транскритические, хопфовские и гомоклинические бифуркации. Хаотическая динамика, странные аттракторы и фрактальная размерность. Сильный акцент на примерах из естествознания. Предварительные требования: Math 42 или Math 44, и хотя бы один из следующих трех: Math 51, Math 70, Math 72.

MATH 155 Уравнения в частных производных I. Введение в уравнения в частных производных с акцентом на линейные волновые уравнения первого и второго порядка, уравнения диффузии и уравнения Лапласа и Пуассона. Предпосылки: МАТЕМАТИКА 70 или МАТЕМАТИКА 72, и МАТЕМАТИКА 51 или МАТЕМАТИКА 153. МАТЕМАТИКА 155 и МАТЕМАТИКА 150 не могут одновременно приниматься в расчет.

MATH 156 Уравнения в частных производных II. Введение в теорию нелинейных уравнений в частных производных, включая метод характеристик, слабые решения, условия скачков и скачков, нелинейные волновые уравнения, нелинейную диффузию и уравнения реакции-диффузии, приложения к гидродинамике.Предпосылка: MATH 155 или разрешение инструктора.

MATH 164 Математика бедности и неравенства. Математическое описание распределения богатства (некоторые теории распределения, кривые Лоренца) и количественная оценка неравенства (индекс Гувера, коэффициент Джини, индексы Тейла, свойства Сена для показателей неравенства). Агентные модели распределения богатства, случайные блуждания, винеровские процессы, уравнения Больцмана и Фоккера-Планка и их применение к моделям распределения богатства.Конденсация богатства и слабые решения. Подвижность вверх и время первого перехода. Повсюду делается упор на методы математического моделирования и сравнения с эмпирическими наблюдениями. Предварительные требования: MATH 42: Calculus III или эквивалент; и MATH 51: Differential Equations или эквивалентные; или разрешение инструктора. Рекомендуется, но не обязательно: MATH 135: Real Analysis или эквивалент; и MATH 165: Вероятность или эквивалент.

MATH 165 Вероятность. Вероятность, условная вероятность, случайные величины и распределения, математическое ожидание, специальные распределения, совместные распределения, законы больших чисел и центральная предельная теорема.
Рекомендации: МАТЕМАТИКА 42 или 44, или разрешение инструктора.

MATH 166 Статистика. Статистическая оценка, выборочные распределения оценщиков, проверка гипотез, регрессия, дисперсионный анализ и непараметрические методы. Рекомендации: МАТЕМАТИКА 165 или разрешение инструктора.

MATH 171 Топология точек. Введение в основные определения и конструкции топологии с целью предоставления идей и инструментов, необходимых для дальнейшего изучения многих разделов современной математики.Определение топологического пространства, примеры топологических пространств, непрерывные функции, компактность, связность и отделимость. Другие темы могут включать гомеоморфизмы, подпространства, фактор-топологию и аксиомы счетности. Предпосылка: MATH 0065 или разрешение инструктора.

MATH 175 Алгебраическая топология. Приложения алгебры к изучению топологических объектов с упором на поверхности. Поверхности как многообразия, гомотопия кривых, фундаментальная группа, простая связность, накрывающие пространства, род, характеристика Эйлера, ориентируемость и классификация компактных поверхностей.Рекомендации: MATH 135 и 145.

MATH 181 Вычислительная геометрия. (Перечислен как COMP 163.) Разработка и анализ алгоритмов для геометрических задач. Темы включают доказательство нижних границ, выпуклые оболочки, поиск и расположение точек, развертку плоскости и расположение линий, диаграммы Вороного, проблемы пересечения, декомпозицию и разбиение, самые дальние и самые близкие пары, прямолинейную вычислительную геометрию. Рекомендации: COMP 160 или разрешение инструктора.

MATH 185 Дифференциальная геометрия. Изучение основных обозначений дифференциальной геометрии в контексте кривых и поверхностей. Кривизна и кручение, теорема о неявной функции, системы координат, первая и вторая фундаментальные формы, геодезические, теорема Гаусса-Бонне. Рекомендации: МАТЕМАТИКА 70 или 72 и 135 или разрешение преподавателя.

MATH 190 Специальные темы для углубленного изучения. Содержание и предварительные требования варьируются от семестра к семестру. Темы, затронутые в последние годы, включали математическую нейробиологию, алгебры Ли, нелинейную динамику и хаос.

MATH 191 Теория вычислений. (Перечислен как COMP 170). Модели вычислений: машины Тьюринга, выталкивающие автоматы и конечные автоматы. Грамматики и формальные языки, включая контекстно-свободные языки и обычные наборы. Важные проблемы, включая проблему остановки и теоремы языковой эквивалентности.
Рекомендации: COMP 15 и MATH 61.

MATH 192 Семинары по математике. Посещение кафедр семинаров и коллоквиумов. Могут включать исследовательские, обучающие и / или проводимые студентами семинары со значительным содержанием математики и / или внешнего докладчика.Посещение 10 семинаров, необходимых для проходного балла, с допуском до двух внешних пучков, если это одобрено инструктором. Предпосылки: наличие статуса выпускника или согласие.

MATH 195 Дипломная работа с отличием A. Курс дипломной работы для соискателей с отличием; подробности см. в Программе дипломов с отличием. Открыт для пожилых людей. Это годичный курс. Каждый семестр засчитывается как 4 кредита к кредитной нагрузке студента. Студенты получат 8 кредитов в конце второго семестра.

MATH 196 Диплом с отличием B. Курс диссертаций для соискателей дипломов; подробности см. в Программе дипломов с отличием. Открыт для пожилых людей. Это годичный курс. Каждый семестр засчитывается как 4 кредита к кредитной нагрузке студента. Студенты получат 8 кредитов в конце второго семестра.

Аспирантура

MATH 220 Специальные разделы численного анализа. Курс специальных тем в области численного анализа или числовой линейной алгебры. Темы меняются из года в год, и курс может быть взят более одного раза для получения кредита.

MATH 225 Численный анализ. (Cross-list w / COMP 226) Анализ алгоритмов, включающих вычисления с действительными числами. Интерполяция, аппроксимация, ортогональные многочлены, методы решения линейных и нелинейных систем уравнений, интегрирование, включая квадратуру Гаусса, обыкновенные дифференциальные уравнения, включая A-устойчивость, введение в методы для гиперболических уравнений в частных производных: восходящий поток, Лакса-Фридрихса, Лакса-Вендроффа. Сильный теоретический акцент.Пререквизиты: математика 51 или 153, математика 70 или 72, а также статус дипломированного специалиста; или разрешение инструктора.

MATH 226 Числовая линейная алгебра. (Cross-list w / COMP 228) Разработка и анализ алгоритмов для решения линейных систем уравнений, задач наименьших квадратов и задач на собственные значения, с упором на теорию матриц. Унитарные матрицы (включая проекции, повороты и отражения). Факторизации матриц (включая LU, Холецкого, QR и разложение по сингулярным числам).Кондиционирование; стабильность; анализ возмущений; количество операций. Методы подпространства Крылова (включая теоретический анализ, предварительное кондиционирование и связь с квадратурой Гаусса). Приложения. Пререквизиты: математика 70 или 72 года и статус выпускника; или разрешение инструктора.

MATH 229 Графические алгоритмы. Математическая теория и реализация алгоритмов на графах и их приложений. Темы включают в себя базовую теорию спектральных графов, кратчайший путь, остовные деревья, раскраску, максимальный независимый набор, сопоставление, агрегаты, спарсификаторы, рандомизированные алгоритмы и многоуровневые методы.Предварительные требования: математика 125 или 225, математика 126 или 226, а также успеваемость; или разрешение инструктора.

MATH 230 Специальные разделы анализа. Курс специальных тем в области анализа. Темы меняются из года в год, и курс может быть взят более одного раза для получения кредита.

MATH 233 Комплексный анализ. Аналитические функции, степенные ряды. Интегрирование в комплексной плоскости, интегральная теорема Коши и формулы. Целые функции. Особенности.Конформное отображение, теорема Римана об отображении. Пререквизиты: математика 135 и статус дипломированного специалиста; или разрешение инструктора.

MATH 235 Анализ. Мера и интегрирование: сигма-алгебры, измеримые множества и функции, мера Лебега и интегрирование, монотонная / доминируемая сходимость, Lp-пространства, теорема Фубини-Тонелли, ограниченная вариация, абсолютная непрерывность, теорема Радона-Никодима, расширение Каратеодори и абстрактная мера. Вещественные функции и функционалы: банаховы пространства, гильбертовы пространства и топологические векторные пространства, линейные функционалы и теоремы представления.Пререквизиты: математика 135, математика 136, и оценка диплома; или разрешение инструктора.

MATH 237 Функциональный анализ. Топологические векторные пространства, полунормы и локальная выпуклость, теорема Банаха Штейнхауза, теорема об открытом отображении, теорема Хана-Банаха, двойственность. Тестовые функции и дистрибутивы, локализация и поддержка дистрибутивов. Преобразования Фурье, обращение, умеренные распределения, теорема Пэли-Винера, лемма Соболева. Банаховы алгебры, преобразования Гельфанда, спектральная теория ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах.Предпосылки: математика 235 и статус выпускника или разрешение преподавателя.

MATH 245 Алгебра I. Общие свойства групп, колец, модулей над кольцом главных идеалов и расширения полей. Пререквизиты: математика 145 и статус дипломированного специалиста; или разрешение инструктора.

MATH 246 Алгебра II. Основные результаты в коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и гомологической алгебре. Требования: математика 245; или разрешение инструктора.

MATH 250 Специальные разделы дифференциальных уравнений. Курс специальных тем в области дифференциальных уравнений (обыкновенных или частных). Темы меняются из года в год, и курс может быть взят более одного раза для получения кредита.

MATH 255 Уравнения в частных производных I. Теория уравнений Лапласа, тепла и волн: фундаментальные решения, формулы среднего значения, свойства решений, функции Грина, энергетические методы, принцип Дюамеля. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка, включая уравнение Гамильтона-Якоби, метод характеристик, гиперболические законы сохранения и их системы, удары и условия энтропии.p пространства и производные, а также существование слабых решений эллиптических уравнений второго порядка и линейных эволюционных уравнений. Внутренняя и граничная закономерность. Разделы вариационного исчисления. Другие избранные темы. Требования: математика 255; или разрешение инструктора.

MATH 257 Численные уравнения в частных производных. Математическая теория и реализация вычислительных методов решения уравнений в частных производных (PDE). Темы включают конечно-разностные методы для гиперболических уравнений в частных производных, методы конечных элементов для эллиптических уравнений в частных производных и итерационные линейные решатели для больших систем линейных уравнений.Анализ согласованности, стабильности и точности с использованием вариационных формулировок и функционального анализа. Предпосылки: математика 135 и 151/251 или согласие

MATH 260 Специальные разделы теории вероятностей и статистики. Курс специальных тем в области теории вероятностей и статистики. Темы меняются из года в год, и курс может быть взят более одного раза для получения кредита.

MATH 270 Специальные разделы топологии. Курс специальных тем в области топологии.Темы меняются из года в год, и курс может быть взят более одного раза для получения кредита.

MATH 275 Алгебраическая топология I. Введение в алгебраические инварианты, назначенные топологическим пространствам. Темы включают топологические многообразия, классификацию поверхностей, гомотопический тип, фундаментальную группу, накрывающие пространства, CW и / или симплициальные комплексы, введение в гомологии. Предпосылки: статус выпускника; или разрешение инструктора.

MATH 276 Алгебраическая топология II. Гомологии, гомологическая алгебра, когомологии и двойственность Пуанкаре. Групповые когомологии, если позволяет время. Требования: математика 275; или разрешение инструктора.

MATH 280 Специальные разделы дифференциальной геометрии. Курс специальных тем в области дифференциальной геометрии и / или многообразий. Темы меняются из года в год, и курс может быть взят более одного раза для получения кредита.

MATH 281 Расширенная вычислительная геометрия. (Перечислены как COMP 263.) Разработка и анализ последовательных, параллельных, вероятностных и аппроксимационных алгоритмов для геометрических задач. Геометрические структуры данных, сложность, поиск, вычисления и приложения. Избранные продвинутые темы.
Рекомендации: COMP 163 или разрешение инструктора.

MATH 285 Коллекторы. Ключевые примеры многообразий, таких как сферы, торы, проективные пространства. Темы о многообразиях, включая фактор-группы, подмногообразия, регулярные множества уровня, группы Ли и гладкие отображения между многообразиями.Темы касательных пространств, включая дифференциал и ранг гладкого отображения, теорему о множестве регулярного уровня (теорему о неявной функции), векторные поля, интегральные кривые и алгебру Ли группы Ли. Темы дифференциальных форм и интеграции, в том числе: произведение клина, возврат форм, внешние производные, ориентация, интеграл n-формы и теорема Стокса. Пререквизиты: математика 135, математика 136, математика 145, и оценка диплома; или разрешение инструктора.

MATH 286 Дифференциальная геометрия. Темы о римановых многообразиях, включая риманову метрику, кривые
и трехмерные поверхности, аффинные связности и теорему Egregium. Связности и кривизна с использованием дифференциальных форм, геодезических, экспоненциального отображения, расстояния и объема, теоремы Гаусса – Бонне и когмологии де Рама. Дополнительные темы, если позволяет время. Требования: математика 285; или разрешение инструктора.

MATH 287 Группы Ли. Вещественные и комплексные группы Ли, отношения между группами Ли и алгебрами Ли, экспоненциальное отображение, присоединенное представление, однородные многообразия, полупростота, максимальные торы, разложения корневого пространства, компактные формы, разложения Картана и классификация простых алгебр Ли.Требования: математика 285; или разрешение инструктора.

MATH 290 Специальные темы для выпускников. Курс специальных тем в любой общей области математики. Темы
меняются из года в год, и курс можно пройти более одного раза для получения кредита.

MATH 291 Семинар по развитию выпускников. Тренинг под руководством аспирантов для преподавания и публичных выступлений по математике и другим профессиональным навыкам. Может включать групповые дискуссии с преподавателями о педагогике и передаче математики исследовательского уровня более широкой аудитории.Предназначен для аспирантов первого курса математики. Встречается раз в неделю по 75 минут. Также ожидается, что студенты будут еженедельно посещать исследовательский семинар или коллоквиум, если это предлагается. Math 291 предлагается осенью, а Math 292 — весной. Рекомендации: кандидатская диссертация или согласие кафедры.

MATH 292 Семинар по развитию выпускников. Тренинг под руководством аспирантов для преподавания и публичных выступлений по математике и другим профессиональным навыкам. Может включать групповые дискуссии с преподавателями о педагогике и передаче математики исследовательского уровня более широкой аудитории.Предназначен для аспирантов первого курса математики. Встречается раз в неделю по 75 минут. Также ожидается, что студенты будут еженедельно посещать исследовательский семинар или коллоквиум, если это предлагается. Math 291 предлагается осенью, а Math 292 — весной. Рекомендации: кандидатская диссертация или согласие кафедры.

MATH 293 Индивидуальный курс. Индивидуальное индивидуальное изучение утвержденной темы.

MATH 294 Стажировка по математике. Изучение утвержденных тем по математике в сочетании со стажировкой за пределами университета.Предварительные требования: статус выпускника и разрешение инструктора

MATH 295 Магистерская диссертация I. Управляемое исследование по теме, которая была утверждена как подходящая для магистерской диссертации.

MATH 296 Магистерская работа II. Управляемое исследование по теме, признанной подходящей для защиты магистерской диссертации.

MATH 297 Кандидатская диссертация I. Управляемое исследование по теме, подходящей для докторской диссертации.

MATH 298 Кандидатская диссертация II. Управляемое исследование по теме, подходящей для докторской диссертации.

MATH 401 Продолжение магистратуры, неполный рабочий день. На данный момент описание отсутствует.

MATH 402 Продолжение магистратуры, полный рабочий день. На данный момент описание отсутствует.

MATH 405 Ассистент выпускника. На данный момент описание отсутствует.

MATH 406 Ассистент-исследователь. На данный момент описание отсутствует.

MATH 501 Докторантура, неполный рабочий день. На данный момент описание отсутствует.

MATH 502 Докторантура, полный рабочий день. На данный момент описание отсутствует.

RISC по сравнению с CISC